Omomorfismi tra gruppi

Omomorfismi di gruppi

In questa pagina introduciamo l’idea di omomorfismo, nel caso specifico dei gruppi.

Introduzione

Definizione di omomorfismo

Siano $(G,*),(G',*')$ due gruppi. Un *omomorfismo di gruppi* è una funzione $f:G\to G'$ tale che:

$f(x*y)=f(x)*'f(y)\quad \forall x,y\in G$

In altre parole, un omomorfismo è una funzione che preserva l'operazione di gruppo.

Esempio

Consideriamo il gruppo additivo $(\mathbb {R} ,+)$, il gruppo moltiplicativo $(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$ e un elemento fissato $a\in \mathbb {R} ^{+}$. Definiamo la funzione:

$f_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$,

data da:

$f_{a}(x)=a^{x}\quad \forall x\in \mathbb {R}$

Verifichiamo che si tratta di un omomorfismo:

$f_{a}(x+y)=a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}=f_{a}(x)f_{a}(y)$,

che soddisfa la proprietà di omomorfismo.

Proprietà di un omomorfismo

Se $f$ è un omomorfismo di gruppi tra $(G,\ast )$ e $(G',\ast ')$, allora valgono le seguenti proprietà:

1. $f(e)=e'$, dove $e$ ed $e'$ sono gli elementi neutri di $G$ e $G'$.
2. Per ogni $x\in G$, vale $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.
3. Se $x$ ha ordine finito $n$ in $G$, allora l'elemento $f(x)$ in $G'$ ha ordine che divide $n$.

Dimostrazione

Dimostriamo le proprietà elencate sopra.

1. L'immagine dell'elemento neutro è il neutro

Per la definizione di elemento neutro, sappiamo che:

$e=e\ast e.$

Applicando l'omomorfismo $f$ e utilizzando la sua proprietà di preservare l'operazione, otteniamo:

$f(e)=f(e\ast e)=f(e)\ast 'f(e).$

Poiché $(G',\ast ')$ è un gruppo, possiamo moltiplicare entrambi i membri per $f(e)^{-1}$, ottenendo:

$e'=f(e).$

2. L'inverso viene preservato

Dal punto appena dimostrato, partiamo dalla relazione:

$e'=f(e)=f(x\ast x^{-1}).$

Per la proprietà di omomorfismo:

$f(x\ast x^{-1})=f(x)\ast 'f(x^{-1}).$

Ora, moltiplicando entrambi i membri per $f(x)^{-1}$, otteniamo:

$f(x)^{-1}=f(x^{-1}).$

3. L'ordine dell'immagine divide l'ordine dell'elemento

Se un elemento $x\in G$ ha ordine $n$, allora per definizione:

$x^{n}=e.$

Applicando l'omomorfismo $f$:

$f(x^{n})=f(e).$

Per la proprietà di omomorfismo:

$f(x^{n})=(f(x))^{n}.$

Dunque:

$(f(x))^{n}=e'.$

Immagine e nucleo di un omomorfismo

Sia $f:G\to G'$ un omomorfismo di gruppi.

• L'immagine di $f$ è l'insieme $\operatorname {Im} (f)=\{f(x)\mid x\in G\}$, ed è un sottogruppo di $G'$.
• Il nucleo di $f$ è definito come $\ker(f)=\{x\in G\mid f(x)=e'\}$, dove $e'$ è l'elemento neutro di $G'$. Il nucleo è sempre un sottogruppo normale di $G$.

Omomorfismi e isomorfismi

Se un omomorfismo $f:G\to G'$ è bigettivo, esso è detto *isomorfismo* e indica che $G$ e $G'$ sono strutturalmente identici (isomorfi).