Gruppo di Lorentz ristretto

Nella relatività speciale, in ogni trasformazione di coordinate tra sistemi di riferimento inerziali, in moto relativo costante, le variazioni del tempo $dt$ e delle coordinate spaziali $dx$, $dy$ e $dz$, devono rispettare la condizione

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$ (1.1.8)

con $ds$ costante. In pratica la (1.1.8) definisce un vettore di modulo costante in uno spazio a quattro dimensioni, che è noto come spaziotempo di Minkowski, di conseguenza le trasformazioni di tale spazio sono equivalenti a rotazioni di vettori in tale spazio.

Definita la matrice diagonale

$\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$, (1.1.9)

nota come matrice di Minkowski, e il vettore quadridimensionale $x_{\alpha }$ con $x_{\alpha }=0,1,2,3$ la (1.1.8) si può riscrivere come

$ds^{2}=\sum _{\alpha ,\beta }\eta _{\alpha ,\beta }x_{\alpha }x_{\beta }$

o, in forma matriciale, $ds^{2}=x^{T}\eta x$.

È quindi possibile definire la legge di trasformazione delle componenti come segue:

${\begin{cases}x'_{\alpha }=\sum _{\alpha \beta }L_{\alpha \beta }x_{\beta }\\x_{\beta }~=\sum _{\beta \alpha }L_{\beta \alpha }^{-1}x'_{\alpha }\end{cases}}$ con $\alpha ,\beta =0,1,2,3$ (1.1.10)

Poiché per qualunque trasformazione di coordinate $ds$ non deve variare, si ha

$ds'^{2}=ds^{2}\quad \Rightarrow \quad (Lx)^{T}\eta (Lx)=x^{T}\eta x\quad \Rightarrow \quad x^{T}L^{T}\eta Lx=x^{T}\eta x$,

perciò

$L^{T}\eta L=\eta$ (1.1.11)

Le trasformazioni (1.1.10) formano un gruppo lineare detto gruppo di Lorentz omogeneo o semplicemente gruppo di Lorentz, il quale è costituito da tutte le possibili trasformazioni di coordinate per un sistema di riferimento nello spazio di Minkowski (in verità mancherebbero le traslazioni, considerando le quali si avrebbe il cosiddetto gruppo inomogeneo o gruppo di Poincarè, di cui il gruppo di Lorentz è un sottogruppo).

In base alla relazione $L^{T}\eta L=\eta$ si ottengono per le matrici $L$ le seguenti condizioni:

${\begin{cases}\|L\|=\pm 1\\|L_{0}^{0}|\leqslant 1\end{cases}}$

È possibile imporre condizioni più restrittive, ad esempio $L_{0}^{0}\leqslant 1$, che comporta che il tempo non venga mai invertito. In tal caso si parla di gruppo di Lorentz ortocrono.

Oppure imporre $\|L\|=1$, in tal caso lo spazio non viene mai invertito (niente trasformazione di parità) e si ottiene il gruppo di Lorentz proprio.

Le due condizioni insieme producono il cosiddetto gruppo di Lorentz ristretto che è un sottogruppo del gruppo omogeneo di trasformazioni continue a partire dall'identità. In pratica si tratta delle rotazioni nello spazio 4D di Minkowski.

I gruppi di questo tipo sono noti come gruppi di Lie, in quanto facilmente studiabili, almeno a livello locale, mediante la teoria sviluppata da Sophus Lie, nota come algebra di Lie.

L'algebra di Lie si basa sulle trasformazioni infinitesime degli elementi del gruppo a partire dall'identità. In tale modo le combinazioni di trasformazioni, da prodotti si riducono a somme.

Nel caso del gruppo ristretto le possibili trasformazioni infinitesime sono le tre rotazioni spaziali più i boost di Lorentz nelle tre direzioni spaziali.