Gravitazione (superiori)

Esperimento di Cavendish

La legge di gravitazione universale stabilisce che dati ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza che è diretta lungo la congiungente i due punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale all'inverso del quadrato della loro distanza. Newton quando fece questa affermazione dimostrò che grandi masse e con simmetria sferica si comportano come se le loro masse fossero concentrate nel loro centro. Questa è una legge universale derivata da osservazioni sperimentali su corpi celesti. Ma il primo test della legge tra masse in laboratorio è dovuto a Cavendish nel 1798 cioè 111 anni dopo la pubblicazione dei Principia di Newton. La legge di Newton è stata superata dalla teoria della relatività generale di A. Einstein, ma continua ad essere una eccellente approssimazione nella maggior parte delle applicazioni. Solo quando è necessaria estrema precisione, o quando si è in presenza di campi gravitazionali particolarmente intensi o per orbite di pianeti molto vicine alle stelle come quella di Mercurio.

La legge di Gravitazione Universale

Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi.

$\mathbf {F} _{12}=-G{m_{1}m_{2} \over {\vert \mathbf {r} _{12}\vert }^{2}}\,\mathbf {\hat {r}} _{12}$

dove:

• F₁₂ è la forza tra le masse;
• G è la costante gravitazionale(6.673×10⁻¹¹ N · (m/kg)²);
• m₁ è la prima massa;
• m₂ è la seconda massa;
• |r₁₂| = |r₂ − r₁| è la distanza tra i due punti materiali.
• $\mathbf {\hat {r}} _{12}={\frac {\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}{\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }}$ è il versore tra i due punti.

Le leggi di Keplero

Le leggi di Keplero derivate dalle precise osservazioni di Tycho Brahe sono le seguenti:

Prima Legge di Keplero

I pianeti girano intorno al sole formando orbite ellittiche e il sole occupa uno dei due fuochi. Il pianeta girando intorno al sole si troverà in un punto più vicino al sole detto perielio, in un punto più lontano detto afelio.

Dimostrazione

Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori $r_{\text{min}}$ e $r_{\text{max}}$. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro $\pi$: si tratta pertanto di ellissi. Per $r=r_{*}$, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.

Innanzitutto il problema bidimensionale del moto in campo centrale può essere facilmente ridotto a un caso unidimensionale utilizzando la definizione del potenziale efficace.

Le equazioni del moto, infatti, possono essere riscritte considerando la forma

$V_{\text{eff}}={\frac {L^{2}}{2r^{2}}}+V(r)={\frac {L^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {k}{r}}$

In un moto in campo centrale, la relazione tra l'angolo $\theta$ e la distanza dall'origine $r$ è data dall'integrale:

$\theta =\int {\frac {L/r^{2}\,\mathrm {d} r}{\sqrt {2(E-V_{\text{eff}}(r))}}}=\int {\frac {L/r^{2}\,\mathrm {d} r}{\sqrt {2(E-V_{\text{eff}}(r))}}}=\arccos {\frac {L/r-k/L}{\sqrt {(2E+k^{2}/L^{2})}}}$

dove la costante integrativa è stata posta uguale a zero. Ciò significa che l'integrale viene calcolato a partire dal pericentro dell'orbita.

Definendo ora le quantità:

$p=L^{2}/k,\qquad e={\sqrt {1+2EL^{2}/k^{2}}}$

e invertendo opportunamente l'espressione di $\theta$ si giunge all'equazione

$r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$.

Questa altro non è che l'espressione di una qualunque conica in coordinate polari centrata in un fuoco.

Se $e<1,$ questa rappresenta un'ellisse con eccentricità $e$ e semilato retto $p$.

In particolare, è possibile ottenere i valori dei semiassi $a$ e $b$:

$a={\frac {p}{1-e^{2}}}={\frac {L^{2}/k}{1-1-2EL^{2}/k^{2}}}=-{\frac {k}{2|E|}}$

$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {L^{2}/k}{\sqrt {1-1-2EL^{2}/k^{2}}}}={\frac {L}{2|E|}}$

Seconda Legge di Keplero

La velocità areolare con cui il raggio vettore spazza l'orbita è costante. La velocità areolare, in questo caso, è la derivata temporale della superficie spazzata dal raggio vettore che congiunge il sole con un pianeta.

Dimostrazione

Introducendo un sistema di coordinate polari $(r,\theta )$, con i rispettivi versori $(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {\theta }} )$ si ha, banalmente $\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}}$.

Derivando tale quantità rispetto al tempo, si ottiene (applicando la regola della derivazione del prodotto e ricordando che: :$\mathbf {\dot {\hat {r}}} ={\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }}$, $\mathbf {\dot {\hat {\theta }}} =-{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {r}}$

$\mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }}$

Ora, considerando per semplicità la massa unitaria, il momento angolare $\mathbf {L}$ vale (sfruttando le proprietà del prodotto vettoriale)

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}} =\mathbf {r} \times {\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {r} \times r{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }} =r{\dot {\theta }}(\mathbf {r} \times \mathbf {\hat {\theta }} )=r^{2}{\dot {\theta }}(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {\theta }} )=r^{2}{\dot {\theta }}$

diretto ortogonalmente al piano in cui si svolge il moto.

Per la legge di conservazione del momento angolare, segue che la quantità $r^{2}{\dot {\theta }}$ è un integrale del moto.

Considerando la velocità areolare $C$ come derivata temporale dell'area spazzata dal raggio vettore, si ha:

$\mathrm {d} S={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}\mathrm {d} t$

Infatti, considerando un angolo $\mathrm {d} \theta ={\dot {\theta }}\mathrm {d} t$, l'area spazzata nell'intervallo temporale infinitesimo, l'elemento d'area è data dalla metà del quadrato di $r$ per l'angolo al centro.

Eseguendo la derivata, $C={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {1}{2}}L$.

Pertanto la velocità areolare è un integrale del moto.

Si può notare come la validità della seconda legge sia del tutto indipendente dall'espressione del potenziale considerato, essa infatti è una proprietà di tutti i potenziali centrali.

Terza Legge di Keplero

Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita cioè:

$T^{2}=kr^{3}\,\!$

Dimostrazione

Nelle espressioni di $a$ e $b$ ricavate dalla prima legge di Keplero, si può notare come il semiasse maggiore $a$ sia dipendente solo dall'energia totale del sistema, mentre il semiasse minore sia anche funzione del momento angolare. Poiché il periodo di rotazione, nel moto in campo centrale, è funzione della sola energia, questo fatto permette di inferire per il periodo una relazione solo riguardante il semiasse maggiore dell'ellisse.

In particolare, si avrà (essendo $\pi ab$ l'area dell'ellisse e $C$ la velocità areolare, il cui valore è costante e uguale a $L/2$).

$T(E)={\frac {\pi ab}{C}}=\pi {\frac {k}{2|E|}}{\frac {L}{\sqrt {2|E|}}}{\frac {2}{L}}=\pi k{\frac {\sqrt {2}}{2}}|E|^{-3/2}$

Ora, recuperando l'espressione di $a$ in funzione dell'energia si ha $|E|={\frac {k}{2a}}$, sostituendo tale valore nell'equazione precedente si ottiene

$T(E)=\pi k{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {2a}{k}}\right)^{3/2}$

da cui si deduce che $T^{2}\propto a^{3}$ come afferma appunto la terza legge di Keplero.

Campo gravitazionale

Il campo gravitazionale è un campo vettoriale che descrive la forza gravitazionale che sarebbe applicata su un corpo di massa unitaria in ogni dato punto dello spazio. È pari alla accelerazione di gravità in quel punto.

È una generalizzazione della forma vettoriale, che diventa particolarmente utile se più di sue oggetti sono coinvolti (ad esempio per un razzo tra la terra e la luna. Per 2 oggetti (ad esempio oggetto 2 il razzo, oggetto 1 la terra), si scrive semplicemente r invece di r₁₂ ed m invece of m₂ e definiamo il campo gravitazionale g(r) come:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}$

Così che si può scrivere:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).$

Questa formulazione dipende dagli oggetti che danno origine al campo. Le dimensioni fisiche del campo sono quelle di una accelerazione e nel Sistema Internazionale si misura in m/s².

Il campo gravitazionale è un campo conservativo; questo significa che il lavoro fatto dalla gravità da un posizione ad un'altra è indipendente dal percorso seguito. Di conseguenza esiste un potenziale gravitazionale V(r) tale che:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).$

Se m₁ è una massa puntiforme o la massa di una sfera con densità che dipende solo dalla distanza r dal centro della sfera (un corpo a simmetria radiale, il campo gravitazionale g(r) all'interno come all'esterno il campo gravitazionale dipende solo dalla distanza r. In particolare all'esterno della sfera:

$V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.$

Applicando la legge di Gauss nel caso gravitazionale ad un corpo simmetrico radialmente , il campo gravitazionale si ricava dalla equazione:

$\int _{A}\,\,\mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{int}$

Dove $A$ è una superficie chiusa e $M_{int}$ è la massa all'interno della superficie.

Perciò, per una sfera vuota di raggio $R$ e massa totale $M$

$|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\mbox{if }}r\geq R\end{cases}}$

Per una sfera piena uniforme di raggio $R$ e massa totale $M$:

$|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\mbox{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\mbox{if }}r\geq R\end{cases}}$

Lavoro della forza gravitazionale

Calcoliamo il lavoro di una forza gravitazionale: $dW={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\vec {u}}d{\vec {s}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}dr=-\Delta E_{p}$.

Otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale:

$E_{p}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r}}$

Questa espressione, se noi prendiamo come convenzione che all'infinito $E_{p}=0\ e\ F=0\,\!$, notiamo che avvicinandosi ad una massa che genera un campo gravitazionale il lavoro è positivo e quindi si acquista energia cinetica e di conseguenza velocità.

Anche in questo caso isoliamo il contributo di una delle due masse ed otteniamo $V=-G{\frac {m}{r}}$ e di conseguenza

${\vec {G}}=-{\vec {\operatorname {grad} }}\,V=-\nabla V$

come ci si doveva aspettare in presenza di un campo conservativo.

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