Goniometria (superiori)

La goniometria, dal greco γωνία (Gonia: angolo) e μέτρον (Metron: misura), studia la misurazione degli angoli mettendoli in relazione con gli archi corrispondenti.

Di solito comprende la trigonometria analitica, ovvero lo studio delle funzioni trigonometriche. Le origini della goniometria si possono trovare nelle opere di François Viète e Lagni.

Nel piano cartesiano si dice circonferenza goniometrica una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e il raggio uguale a 1, ovvero la circonferenza che ha equazione $x^2+y^2=1$.

Si considera positivo il verso di rotazione antiorario.

Gli angoli

Descrizione di angolo orientato

Un angolo è una parte di piano compresa tra due semirette.

Definiscesi angolo orientato un angolo per il quale si è stabilito qual è il primo lato e quale il secondo.

Se il primo lato, nel descrivere l'angolo, si muove in senso antiorario l'angolo è orientato positivamente, in caso contrario, quando si descrive un angolo in senso orario, l'angolo è orientato negativamente.

I sistemi di misura degli angoli

Un grado costituisce la trecentosessantesima parte ($\frac{1}{360}$) dell'angolo giro.

Il sistema sessagesimale

Nel sistema sessagesimale, l'unità di misura è il grado, da cui si definiscono i primi e i secondi:

• Il primo è la sessantesima parte ($\frac{1}{60}$) del grado;
• Il secondo è la sessantesima parte ($\frac{1}{60}$) del primo e la tremilaseicentesima parte ($1/3600$) del grado.

Circonferenza goniometrica

Il sistema sessadecimale

L'unità di misura del sistema sessadecimale è sempre il grado, ma differisce dal sistema sessagesimale in quanto i sottomultipli del grado sono espressi in forma decimale (con la virgola).

Il sistema matematico

L'unità di misura all'interno del sistema matematico è il radiante (rad). esso è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza o dell'arco dall'angolo circoscritto e il raggio:

$\alpha =\frac{l}{R}$ dove α è l'angolo, l la lunghezza dell'arco sotteso e R il raggio della circonferenza.

2π rad = 360°, π rad = 180°, $\frac{\pi }{2}$ rad = 90°

Per convertire l'ampiezza di un angolo da gradi a radianti, o viceversa, si può usare la proporzione:

${\alpha }^{\circ }:{\alpha }^{rad}=180:\pi$

La circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è una circonferenza che ha centro in C (0,0) e raggio pari a 1 (R = 1).

I quadrante : angoli da 0° a 90° o da -271° a -360°

Seno e coseno di un angolo

II quadrante : angoli da 91° a 180° o da -181° a -270°

III quadrante : angoli da 181° a 270° o da -91° a -180°

IV quadrante : angoli da 271° a 360° o da -90° a 0°

Seno e coseno di un angolo

• Si definisce seno di un angolo (sin α) l'ordinata dello stesso (il segmento AB);
• Si definisce coseno di un angolo (cos α) l'ascissa dell'angolo (il segmento OB).

I grafici di seno e coseno

Grafici delle funzioni seno e coseno.

Il grafico della funzione seno è definito sinusoide.

Il grafico della funzione coseno è definito cosinusoide.

Le funzioni sono entrambe funzioni periodiche di $T=2\pi$

Relazioni fondamentali della goniometria

Prima relazione fondamentale

${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1.$

Da questa si ricavano

$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha },$

$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }.$

Ricordare di valutare la posizione di $\alpha$ per la scelta opportuna del segno.

Seconda relazione fondamentale

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },$

che vale solo per $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.

Dalle due precedenti relazioni si ricava che

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha },$

che vale solo per $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.

Da questa si ricava

$\cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}.$

Ricordare di valutare la posizione di $\alpha$ per la scelta opportuna dei segni.

Terza relazione fondamentale

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha },$

che vale solo per $\alpha \ne k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.

Quarta relazione fondamentale

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha },$

che vale solo per $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.

Quinta relazione fondamentale

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha },$

che vale solo per $\alpha \ne k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.

Formule goniometriche

In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.

Formule di addizione

• $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
• $\cot (\alpha +\beta )=\frac{\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }$

La formula della tangente vale per $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$

La formula della cotangente vale per $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \ne k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$

Formule di sottrazione

• $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$
• $\cot (\alpha -\beta )=\frac{\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }$

La formula della tangente vale per $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$

La formula della cotangente vale per $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \ne k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$

Formule di duplicazione

• $\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

• $\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

• $\tan (2\alpha )=\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

L'ultima formula vale per $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ e $\alpha \ne \pm \frac{\pi }{4}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$

Formule di linearità

• ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos (2\alpha )}{2}$

• ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos (2\alpha )}{2}$

• ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1-\cos (2\alpha )}{1+\cos (2\alpha )}$

L'ultima formula vale per $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$

Formule di bisezione

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade $\frac{\alpha }{2}$ per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule

• $\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

• $\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

• $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

L'ultima formula vale per $\alpha \ne \pi +2k\pi$.

Formule parametriche

• $\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$

• $\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}$

• $\tan \alpha =\frac{2t}{1-t^2}$

dove $t=\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ con $\alpha \ne \pi +2k\pi$.

Formule di prostaferesi

• $\sin p+\sin q=2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$

• $\sin p-\sin q=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)$

• $\cos p+\cos q=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$

• $\cos p-\cos q=-2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)$

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)

• $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$

• $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$

• $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$

• $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.

Formule dell'angolo aggiunto

• $a\sin x+b\cos x=A\sin (x+\varphi )$

La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

$\{\begin{array}{c}\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

$\tan \varphi =\frac{b}{a}$

Fare attenzione che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di $\varphi$ dunque

$\varphi =\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{b}{a})& \text{se }a>0\\ \arctan (\frac{b}{a})+\pi & \text{se }a<0\end{array}$