Funzioni di correlazione incrociata digitali di segnali in bande di frequenze rettangolari

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lezione
Funzioni di correlazione incrociata digitali di segnali in bande di frequenze rettangolari
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Sulle funzioni di correlazione digitali
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.


Impostazione degli algoritmi di calcolo delle funzioni di correlazione incrociata digitale[modifica]

Nell'esposizione delle diverse formule per il calcolo di abbiamo sempre osservato che il valore massimo della funzione di autocorrelazione corrisponde con il valore di

Questa condizione dipende dal fatto che la presa in esame, viene correlata, per con se stessa negli stessi istanti, per cui si ha il massimo grado di interdipendenza.

Appena i valori temporali del confronto cambiano, con il crescere di le funzioni di autocorrelazione decrescono mostrando i caratteristici andamenti riportati nelle lezioni precedenti.

Nel caso delle funzioni di correlazione incrociata, indicate con il simbolo possono verificarsi due casi diversi nei quali la normalizzata raggiunge il massimo valore uguale a .

I due possibili casi[modifica]

  • Le hanno il massimo valore di correlazione incrociata per ; che significa che sono interdipendenti per e che il loro grado di interdipendenza decresce con il crescere di così come per le funzioni di autocorrelazione.

In questo caso le formule illustrate nella lezione precedente, impiegate per il calcolo della , sono applicabili direttamente anche per il calcolo della e valgono per queste ultime tutte le osservazioni fatte per le funzioni di autocorrelazione.


  • Le hanno il massimo valore di correlazione incrociata per  ; ciò significa che sono interdipendenti per e che il loro grado di interdipendenza decresce quando aumenta o diminuisce rispetto al valore di .

interpretazione fisica del fenomeno[modifica]

Una tra le tante possibili giustificazioni fisiche di questo comportamento può essere ad esempio attribuita al caso di un'unica sorgente di segnale che emette e che questo segnale si presenta poi al correlatore, tramite due sensori che lo ricevono da percorsi diversi rispetto alla sorgente; la si sarà trasformata temporalmente in

La si trasformerà in dopo aver subito un ritardo dovuto al percorso così da poter scrivere:

.

La f(t) si trasformerà invece in dopo aver subito un ritardo , maggiore del precedente, così da poter scrivere:

A questo punto l'interdipendenza massima si avrà quando la già ritardata per il maggior percorso di sarà correlata con la ritardata di parte del sistema di ritardo del circuito di di correlazione.

Condizioni di incoerenza tra e [modifica]

Il caso di correlazione incrociata tra e nella quale si abbia per qualsiasi valore di evidenzia che e sono tra loro incoerenti.

Un esempio fisico dell'incoerenza tra segnali si verifica tra le tensioni generate da due sensori acustici immersi in mare a centinaia di metri l'uno dall'altro allo scopo di misurare il livello di pressione generato dal moto ondoso in due diverse zone di mare.

Esempio di funzione di correlazione incrociata in banda [modifica]

Riportiamo un esempio di funzione di correlazione incrociata digitale che mostra la condizione di interdipendenza di cui al secondo punto del paragrafo precedente.

Il grafico della funzione di correlazione incrociata, per grandezze definite in bande di frequenze comprese tra sarà simile a quello della funzione di autocorrelazione, ma traslato nell'asse di con il massimo per e un profilo simmetrico per valori rispettivamente inferiori e superiore di , cosi come mostrato in figura 1 per


figura 1

Questo tipo di funzione è talvolta ricorrente nelle applicazioni tecniche dato che numerosi problemi comportano che il massimo della non coincida con ma generalmente con valori di diversi da

Molte volte, con la ricerca e la successiva determinazione di , si possono risolvere importanti problemi di varia natura.

In questo caso la funzione di autocorrelazione:


si trasforma nella funzione di correlazione incrociata:


1)

Osservazioni[modifica]

Come per i grafici delle funzioni di autocorrelazione anche i grafici delle funzioni di correlazione incrociata, che hanno il massimo per , si prestano ad alcune osservazioni caratteristiche.

Nel grafico di figura 1 si individuano due valori di  :

, simmetrici rispetto a

, per i quali la

 ;  ;

questi valori si ricavano semplicemente risolvendo l'equazione :



dalla quale si ha immediatamente

dove è un intero.

Nel caso di si ha e i due valori di si ottengono come segue:



La funzione di correlazione incrociata per segnali in banda [modifica]

In modo analogo al punto precedente si può calcolare la funzione di correlazione incrociata per grandezze del tempo definite in bande di frequenze comprese fra che hanno il massimo grado di interdipendenza per ; essa sarà simile a traslata nell'asse con il valore massimo per secondo la seguente espressione :

2)

Dove:

tracciata in figura 2

figura 2