Correlatore a cancellazione della varianza del segnale -impostazione teorica-

Il funzionamento di questo particolare correlatore è illustrato, per semplicità, nel presupposto che i processi di calcolo siano riferiti alle caratteristiche delle funzioni di correlazione analogiche.

Da questi sviluppi concettuali discendono, secondo Vanvleck, analoghi sviluppi nell'ambito della correlazione digitale.

Dettagli sul nuovo processo

Abbiamo accennato nelle prime lezioni che la 1), sotto indicata:

$C(\tau -\ \tau *)1,2\ \left[{\frac {\sin[\ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right]\ \ \$ 1)

esprime la funzione di correlazione analogica incrociata nel presupposto teorico che il tempo di integrazione sia infinitamente grande, e che per tale presupposto non si evidenzi nella formula stessa la presenza della varianza dovuta ai segnali.

Nei casi pratici invece, nei quali le costanti di tempo dell'integratore hanno valori finiti, è sensibilmente presente la varianza dovuta ai segnali.

Nelle applicazioni dei metodi di correlazione la situazione sopra menzionata è poco significativa se i segnali sono inquinati dai disturbi, dato che in questi casi la varianza dovuta a questi ultimi è generalmente preponderante rispetto a quella dovuta ai soli segnali.

La cosa è diversa invece nei casi in cui i segnali non siano inquinati dai disturbi, o comunque lo siano poco, perché in queste situazioni la varianza d'uscita del correlatore è determinata prevalentemente dai segnali stessi e ciò nuoce al fine delle misure.

Per eliminare quasi totalmente la varianza dovuta ai soli segnali esiste un metodo che consente di ottenere buoni risultati senza intervenire sul valore della frequenza di taglio dell'unita integratore.

Questo metodo agisce soltanto per l'abbattimento della varianza dei segnali tra loro correlati; agisce sempre meno mano a mano che i segnali si scorrelano fino al punto di non incidere assolutamente sull'attenuazione della varianza quando le grandezze $f1(t)\ e\ f2(t)$ applicate al correlatore sono completamente scorrelate tra loro; questa condizione è identica alla presenza dei soli rumori all'ingresso del correlatore.

Lo schema a blocchi

Il metodo per la cancellazione della varianza dei segnali si basa sull'elaborazione della funzione di correlazione analogica incrociata secondo lo schema a blocchi di figura 1:

figura 1

Il sistema può operare con segnali $f(t)$ di tipo stazionario definiti in bande di frequenze aventi uniforme distribuzione spettrale.

II circuito esegue la correlazione normale nel canale 1 e la presenta al primo ingresso dell'amplificatore sommatore S , esegue la correlazione secondo i segnali in quadratura nel canale 2 e la presenta al secondo ingresso del sommatore, il risultato di questa operazione genera in uscita di S di una funzione di correlazione di ampiezza $C(\tau )$ depurata della varianza dovuta ai segnali $f(t).$

Il funzionamento del correlatore si spiega facilmente ricordando l'algoritmo dal quale discendono tutte le funzioni di correlazione:

$C(\tau )1,2=1/To\int _{0}^{To}[f1(t)]\cdot [f2(t+\tau )]\,dt\ \ \ \$ 2).

dove la $C(\tau )1\,2$ si ottiene dal prodotto $f1(t)\ e\ f2(t)$ integrato nel tempo.

Se i segnali $f1(t)\ e\ f2(t)$ sono del tipo

$f(t)=A\sin \omega t$

il canale 1 li elaborerà nel seguente modo:

$P1=f1(t)\cdot f2(t+\tau )=A\sin \omega t\cdot A\sin \omega (t+\tau )=(A^{2}/2)\cdot \cos \omega \tau \ \ {-}\ \ (A^{2}/2)\cdot \cos(2\omega t+\omega \tau )$

dove il primo termine dovuto al prodotto è la $C(\tau )1,2$ voluta e il secondo termine è la varianza che dovrebbe essere filtrata dal circuito integratore.

Il canale 2 elaborerà i segnali di ingresso $A\sin \omega t$ dopo averli trasformati in $A\cos \omega t$ tramite le cellule di sfasamento a $90$° che precedono il moltiplicatore; i risultato della moltiplicazione sarà pertanto:

$P2=A\cos \omega t\cdot A\cos \omega (t+\tau )=(A^{2}/2)\cdot \cos \omega \tau \ \ {+}\ \ (A^{2}/2)\cdot \cos(2\omega t+\omega \tau )$

dove il primo addendo dovuto al prodotto è la stessa $C(\tau )1,2$ ottenuta nel canale 1 e il secondo addendo è la varianza che deve essere filtrata dal circuito integratore.

Confrontando la P1 con la P2 si osserva che le componenti della varianza sono l'una positiva e l'altra negativa e che pertanto sommando i prodotti dei due canali si ottiene la funzione di correlazione a varianza del segnale zero.

Osservazioni

Il procedimento matematico mostra chiaramente che la cancellazione totale della varianza del segnale si ha se lo sfasamento del canale 2 è di $90$° esatti e quando i guadagni dei due canali di correlazione sono identici.

Eventuali errori sullo sfasamento dei segnali o sull'uguaglianza dei guadagni degli stadi di amplificazione non consentono evidentemente la cancellazione completa della varianza del segnale.

Il risultato ottenuto per segnali monocromatici è ovviamente estensibile per segnali definiti in bande di frequenze purché lo sfasamento di $90$° per ciascun segnale del canale 2 sia mantenuto per tutte le frequenze contenute nella banda.

Precisazione comparativa

Il processo di sfasamento per $90$° dei segnali applicati a questo tipo di correlatore è completamente diverso dal processo di sfasamento per $90$° impiegato per la trasformazione di Hilbert (si veda Lezione 6^ della materia I correlatori digitali ).

Nel processo attuale ciascuno dei due segnali e sfasato di $90$° in tutta la banda per la trasformazione delle componenti frequenziali da $A\sin \omega t$ in $A\cos \omega t$ .

Nel processo che viene sviluppato per la trasformazione di Hilbert vengono invece sfasate di $90$° tutte le componenti frequenziali del segnale di ingresso $f1(t)$ rispetto alle componenti frequenziali del segnale $f2(t).$

Da quanto sopra si comprende pertanto che gli sfasatori a $90$° per il correlatore a cancellazione di varianza non possono essere realizzati con la tecnica descritta alla lezione citata.

Nel presente caso il problema dello sfasamento per $90$° si presenta in altri termini e non può essere facilmente risolto perché le ampiezze di $f1(t)\ e\ f2(t)$ non devono essere alterate dagli sfasatori; soltanto trasformando il correlatore di figura 1 in un correlatore digitale è possibile affrontare più semplicemente la cosa.

Bibliografia

• J. J. Faran Jr e R. Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• R. J. Urick, Principles of underwater sound, 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968.

• C. Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993

• C. Del Turco, Principi ed applicazioni dei metodi di autocorrelazione "Rivista L'Antenna anno XXXII n° 6 1960".