Calcolatore della probabilità di rivelazione Priv dati: BW ; RC ; S/N ; Pfa

Il calcolatore oggetto di questa lezione, individuabile dalla sigla PREDICTOR, è stato progettato a fini didattici per consentire esercitazioni specifiche su diverse materie del corso che trattano delle variabili: $Priv;\ \ \ Pfa;\ \ \ Si/Ni;\ \ \ BW;\ \ \ d$

Considerazioni in via di principio

Conoscere la probabilità di rivelazione di un segnale elettrico, nel caso in cui il rumore che inquina il segnale stesso sia elevato, è di aiuto per rendersi conto di tutte le variabili connesse alla scoperta del segnale cercato.

Questo tipo di valutazione è agevolato dalla conoscenza del rapporto segnale/disturbo $(Si/Ni)$ disponibile al momento della misura grazie ad un sistema analogico o numerico che calcola tale rapporto una volta scoperto il segnale.

Nella scoperta dei segnali con i metodi di correlazione a due stati si utilizza spesso l'algoritmo di calcolo del rapporto $Si/Ni$ per dedurne, una volta inseriti i parametri $BW$ ( banda di ricezione ) ed $RC$ ( costante di tempo d'integrazione ) e una volta fissata una certa probabilità di falso allarme $Pfa$, il valore della probabilità di rivelazione indicata con $Priv.$

Si tratta quindi del computo della funzione:

$Priv=f[Pfa;\ \ BW;\ \ Rc;\ \ Si/Ni;\ \ d]$

da sviluppare con il calcolatore oggetto di questa lezione.

Come si presenta il pannello virtuale del PREDICTOR

Il pannello del calcolatore, visibile in figura 1, è diviso in tre sezioni così individuate:

• A) Sezione per l'inserzione dati: $BW$ in hertz; $RC$ in secondi; $Si/Ni$ in $dB$

Pigiando il pulsante "calcolo" si ottiene il valore del parametro $d$, questo è mostrato nel label inferiore ed è messo automaticamente a calcolo per la computazione finale.

• B) Sezione per l'inserzione del valore di $Pfa$ stabilito e, dopo pressione del pulsante, calcolo della variabile $q$, indicata e messa automaticamente a calcolo.

• C) Sezione per il computo finale del valore di $Priv$ che viene mostrato nel label inferiore una volta pigiato il pulsante calcolo.

Nella sezione è collocato anche il pulsante di Reset per l'azzeramento di tutti i dati numerici.

figura 1

Calcoli nella sezione A

I calcoli della sezione A) si basano sulle seguenti considerazioni:

La funzione che esprime come varia l'ampiezza del livello $Crt$ d'uscita di un correlatore a due stati al variare di $Si/Ni$ è:

$Crt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)\arcsin \left[{\frac {1}{1+\left({\frac {Ni}{Si}}\right)^{2}}}\right]\qquad \qquad 1)$

Dallo sviluppo della 1) discende la 2) che consente il calcolo del rapporto $Si/Ni$ in $dB$ in funzione del livello d'uscita $Crt$ del correlatore:

$\left({\frac {s}{n}}\right)_{db}=20\log \left[{\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{\operatorname {sen} \left(\pi \cdot {\frac {C}{2}}\right)}}-1}}}\right]\qquad \qquad 2)$

La 2) mostra come sia possibile stabilire a calcolo il valore di $Si/Ni$ una volta determinato il livello di $Crt$, detto livello può essere sia in forma analogica che numerica in dipendenza del tipo di trattamento dei segnali.

Ed infine il calcolo della funzione $d=f(Si/Ni;Bw;RC)$:

$d\cong 2(\mathbf {BW} )RC\left({\frac {Si}{Ni}}\right)^{4}$

Questa è valida soltanto per rapporti $Si/Ni<-15\ dB$.

Il valore $d$ può essere computato anche per $Si/Ni$ espresso in $dB$ con l'espressione:

$d=2\cdot BW\cdot RC\cdot 10^{\left[{\frac {\left({\frac {Si}{Ni}}\right)_{db}}{20}}\right]^{4}}\qquad \qquad \qquad 4)$

Calcoli nella sezione B

Per le computazioni della variabile $q$:

$p(FA)=\left({\frac {1}{2}}\right)\left\{1-erf\left({\frac {q}{\sqrt {2}}}\right)\right\}\qquad \qquad 5)$

Con processo software iterativo si ricava il valore di $q$ in funzione di $Pfa$

Calcoli nella sezione C

L'algoritmo per il calcolo di $Priv$:

$p(Riv.)=\left({\frac {1}{2}}\right)\left\{1-erf\left[{\frac {\left(q-{\sqrt {d}}\right)}{\sqrt {2}}}\right]\right\}\qquad 6)$

Con processo software si ricava il valore di $Priv$ in funzione di $d\ e\ q$ computati in precedenza nella sezione A e nella sezione B.

Esempio di calcolo

Utilizzando indifferentemente uno dei due file eseguibi:

PREDICTOR

[PREDICTOR]

si può sviluppare il seguente esempio di calcolo:

DATI:

• Banda di ricezione impostata: $BW=2000\ Hz$

• Costante di tempo d'integrazione impostata sul sistema di correlazione: $RC=2\ s$.

• Rapporto segnale/disturbo d'ingresso letto su apposito indicatore del sistema di misura:

$Si/Ni=-18\ dB$

• Percentuale di falso allarme accettata: $Pfa=10\%$

Dopo l'inserzione dei dati e la successiva azione sui tre pulsanti di calcolo delle tre sezioni si ha la schermata risolutiva riportata in figura 2:

figura 2

Dalla figura si vede che con i dati impostati la previsione della probabilità di rivelazione è nell'ordine di: $Priv=55\%$.

Come accennato in precedenza il calcolatore rende dati teorici validi di $Priv$ soltanto se i rapporti $Si/Ni$sono inferiori a $-15\ dB$ ed i valori del parametro $d$ sono inferiori a $40.$

I calcoli sviluppati dalle sezioni B) e C), in dipendenza dei valori inseriti, possono richiedere un sensibile tempo di elaborazione.

I pulsanti di colore verde in attesa di essere premuti, cambiano colore dopo la pressione, il calcolo dura fino a che il pulsante di calcolo permane di colore rosso.

Bibliografia

• J. J. Faran Jr e R. Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• R. J. Urick, Principles of underwater sound, 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968.

• C. Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993

• C. Del Turco, Principi ed applicazioni dei metodi di autocorrelazione "Rivista L'Antenna anno XXXII n° 6 1960".