Algoritmi per lo studio degli effetti del disturbo nei correlatori digitali.

Gli algoritmi che ci accingiamo a proporre nella prima lezione di questa materia completano la conoscenza delle prestazioni di questo tipo di dispositivi per l'impiego nella rivelazione di deboli segnali inquinati dal disturbo.

Rivisitazione degli algoritmi per la correlazione incrociata

Per esaminare gli effetti del disturbo sui processi di correlazione digitale iniziamo a riscrivere l’algoritmo studiato nelle lezioni precedenti relativo alla correlazione incrociata tra due segnali $f1(t)\ e\ f2(t)$ :

l'algoritmo citato, formulato per assenza di disturbi, è riportato nella 1):

$C(\tau )x1,2=(2/\pi )\arcsin \left\{{\frac {\sin \ [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right\}\ \ \$ 1)

La crva di $C(\tau )x1,2$ per i valori di :

$F1=2000\ Hz$

$F1=6000\ Hz$

$\tau *=200\ \mu s$

$\tau$ variabile da $0\ a\ 1000\ \mu s$

è tracciata in figura 1:

figura 1

Evidenziamo ora due particolari di questa curva per confrontarli in seguito con analoghi in presenza dei disturbi:

• Il massimo della $C(\tau )x1,2$ per $\tau =200\ \mu s$ ha ampiezza massima normalizzata ad $1.$

• Il massimo della $C(\tau )x1,2$ è distinto da una cuspide caratteristica della presenza nella 1 ) della funzione arcoseno.

L'algoritmo per il calcolo e il tracciamento della C(tao) x1,2 in presenza del disturbo

In questa dimostrazione assumiamo che le ampiezze dei segnali $F1(t)\ e\ F2(t)$ applicate all'ingresso del correlatore siano uguali e le indichiamo con $si$.

Analogamente i disturbi $n1(t)\ e\ n2(t)$ che inquinano i segnali hanno uguale ampiezza $ni$ e si intendono tra loro non coerenti.

L'algoritmo di cui al titolo è riportato nella 2):

$C(\tau )x1,2=(2/\pi )\arcsin K\cdot \left\{{\frac {\sin \ [2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]\cdot \cos \ [2\cdot \pi \cdot Fo\cdot (\tau -\tau *)]}{[2\cdot \pi \cdot DF\cdot (\tau -\tau *)]}}\right\}\ \ \$ 2)

dove $K$ è una variabile dipendente dal rapporto tra l'ampiezza del segnale $si$ e l'ampiezza del disturbo $ni$ secondo la 3)

$K=\left[{\frac {1}{1+(ni/si)^{2}}}\right]\ \ \$ 3)

Dalla 3) si osserva che se il rumore è assente: $ni=0$ si ha $K=1$ e la 2) è identica alla 1).

La variazione del rapporto $(si/ni)$ trasforma completamente l'andamento della curva di figura 1 così come mostrano i seguenti quattro tracciati di figura 2:

figura 2

Le quattro curve della figura 2 mostrano la trasformazione della curva di figura 1 mano a mano che il rapporto s/n decresce

• Per $si/ni=20\ dB$ (rapporto $10\ a\ 1$ ) la $C(\tau )x1,2$ ha un valore di poco inferiore ad $1$ e la cuspide si è di poco alterata.

• Per $si/ni=10\ dB$ (rapporto $3.3\ a\ 1$ ) la $C(\tau )x1,2$ ha un valore di $0.7$ e la cuspide si è trasformata nell'andamento della funzione $(\sin \ x)/x$ .

• Per $si/ni=0\ dB$ (rapporto $1\ a\ 1$ ) la $C(\tau )x1,2$ scende a $0.3$.

• Per $si/ni=-6\ dB$ (rapporto $1\ a\ 2$ ) la $C(\tau )x1,2$ scende a $0.1$.

In figura 2 si può osservare che mano a mano che l'ampiezza delle curve decresce aumenta lo spessore della traccia; questo fenomeno è dovuto al peggioramento del rapporto $si/ni$ che evidenzia la presenza della varianza che è più marcata per piccoli rapporti $si/ni.$

L'andamento dell'ampiezza della $Cx1,2(\tau )$ per $\tau =\tau *$ è dato dalla funzione.

$Sux=(2/\pi )\cdot \arcsin \left[{\frac {1}{1+(ni/si)^{2}}}\right]\ \ \$ 4).

L'andamento di $Sux$ in funzione del rapporto $si/ni$ espresso in deciBel è riportato in figura 3 , per $si/ni$ variabile da -$60\ dB$ ( rapporto $1/1000$) a +$60\ dB$ ( rapporto $1000/1$)

figura 3

Vedremo in seguito che lo studio del comportamento della 2) e della 4) sono di fondamentale importanza per la scoperta di piccoli segnali coperti dai disturbi.

Bibliografia

• J. J. Faran Jr e R. Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• R. J. Urick, Principles of underwater sound, 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968.

• C. Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993

• C. Del Turco, Principi ed applicazioni dei metodi di autocorrelazione "Rivista L'Antenna anno XXXII n° 6 1960".