Successioni di funzioni

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Avanzamento lezione: 75% al 26-11-2009.

Indice

1 Definizione e funzione limite
2 Definizione delle convergenze
3 Esempi
4 Collegamento tra le due convergenze
- 4.1 Dimostrazione
5 Criteri di Cauchy
- 5.1 Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale
  - 5.1.1 Dimostrazione
- 5.2 Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
  - 5.2.1 Dimostrazione
6 Convergenza uniforme e continuità
7 Convergenza uniforme ed integrabilità
- 7.1 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale
  - 7.1.1 Dimostrazione
8 Convergenza uniforme e derivabilità
9 Convergenza uniforme e monotonia
- 9.1 Teorema del Dini per le successioni di funzioni
  - 9.1.1 Dimostrazione
- 9.2 Teorema 2
  - 9.2.1 Dimostrazione
10 Compattezza delle funzioni continue in [a,b]
- 10.1 Teorema di Ascoli-Arzelà
  - 10.1.1 Dimostrazione

Materia:Analisi matematica > Successioni di funzioni

[modifica] Definizione e funzione limite

Sia $\varnothing \ne I \subseteq R$ . Sia $\mathcal{F}$ l'insieme delle funzioni $f:I \subseteq \R \to \R$ . Una successione di funzioni (reali a valori reali) è un'applicazione definita in questo modo:

$(f_n)_{n \in \N}:n \in \N \to f_n \in \mathcal{F}, \ f_n:I \to \R$

Questa definizione contiene il concetto di successione reale: fissato un qualsiasi $x\,\!$ in $I\,\!$ , $(f_n(x))_{n \in \N}$ è l'applicazione che, ad ogni $n \in \N$ , associa il numero reale $f_n(x)\,\!$ .

Si può definire la successione di funzioni anche come una funzione in due variabili, ossia:

$(f_n)_{n \in \N}:(n,x) \in \N \times I \to f(n,x) \in \R$

Con questa definizione viene messa in evidenzia la dipendenza della funzione da $n\,\!$ e da $x\,\!$ .

Avendo visto che $(f_n)_{n \in \N}$ può essere espressa come un'applicazione che, ad ogni $x\,\!$ in $I\,\!$ , associa $(f_n(x))\,\!$ nell'insieme delle successioni reali, si può trasportare il concetto di limite di una successione reale a limite di una successione di funzioni, definita nel modo seguente:

sia $I'=\{x \in I \ |\ \exists l(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x) \in \R\}$ . Tale insieme viene definito insieme di convergenza della successione.

Supponiamo $I'\ne\varnothing$ . Allora è possibile definire l'applicazione: $f:x \in I' \to f(x)=l(x) \in \R$ .

$f\,\!$ è definita come la funzione limite della successione $(f_n)_{n \in \N}$ , ossia $\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=f(x), \ \forall x \in I'$ .

[modifica] Definizione delle convergenze

Una successione di funzioni $(f_n)_{n \in \N}$ , definita in $I\subseteq\R$ , si dice che converge puntualmente a una funzione $f\,\!$ in $I' \subseteq I$ se, e solo se $f\,\!$ è limite della successione di $(f_n)_{n \in \N}$ , ossia, per la definizione di limite di una successione reale:

$\forall \varepsilon >0, \forall x \in I', \exists m \ :\ \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, \forall n > m$

Va notato che, in base a questa definizione, $m\,\!$ dipende non solo da $\varepsilon$ , ma anche, in generale, da $x\,\!$ .

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni definita in $I\subseteq\R$ . Allora essa converge uniformemente a $f\,\!$ in $I' \subseteq I$ se, e solo se, in poche parole, $m\,\!$ dipende solo da $\varepsilon$ , ossia:

$\forall \varepsilon >0, \exists m \ :\ \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, \forall x \in I', \forall n > m$

Per definizione, se una successione di funzioni converge puntualmente(risp. uniformemente) alla funzione limite in $I\,\!$ , allora è chiaro che converge puntualmente(risp. uniformemente) $\forall I'\subseteq I$ .

La convergenza uniforme ha la seguente e utile equivalenza, facilmente dimostrabile:

$(f_n)_{n \in \N}$ , definito in $I\subseteq\R$ , converge uniformemente a $f\,\!$ in $I' \subseteq I$
$\forall \varepsilon >0, \exists m \ :\ \sup_{I'} \left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \forall n > m$ , ossia, $\lim_{n \rightarrow +\infty}\sup_{I'} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0$

Questa equivalenza è molto utile per verificare la convergenza uniforme.

[modifica] Esempi

Nota:
inserire degli esempi

[modifica] Collegamento tra le due convergenze

Se $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I'\,\!$ , allora converge puntualmente in $I'\,\!$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia fissato $\varepsilon>0\,\!$ , e sia $m\,\!$ tale che $\sup_{I'} \left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \forall n > m$ .
È chiaro che, per la proprietà dell'estremo superiore, se scelgo $x \in I'$ , $\left|f_n(x)-f(x)\right|\le \sup_{I'} \left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ .
Per l'arbitrarietà di $\varepsilon\,\!$ e $x\,\!$ , si è giunti alla tesi.

Il viceversa non vale in generale.

Nota:
mostrarlo con un esempio

$\Box$

[modifica] Criteri di Cauchy

[modifica] Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

$(f_n)_{n \in \N}$ converge puntualmente a $f\,\!$ in $I\,\!$ se e solo se $\forall x \in I, \forall \varepsilon>0, \exists m \ :\ \left|f_k(x)-f_h(x)\right| < \varepsilon, \forall h,k > m$

[modifica] Dimostrazione

$\Rightarrow)$
$(f_n)_{n \in \N}$ converge puntualmente in $I\,\!$ , quindi, $\forall x \in I\,\!$ , la successione numerica $(f_n(x))_{n \in \N}$ è convergente ma, come è noto, ogni successione convergente è di Cauchy, quindi vale la tesi.
$\Leftarrow)$

In base alle ipotesi, $\forall x \in I\,\!$ , la successione numerica $(f_n(x))_{n \in \N}$ è di Cauchy ma, in base al teorema di Cauchy sulle successioni numeriche, essa deve convergere a un valore $l(x)\,\!$ , e quindi esiste ed è finito, $\forall x \in I$ , il limite della successione di funzioni, che lo denotiamo con $f\,\!$ , da cui segue la tesi.

$\Box$

[modifica] Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

$(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$ se e solo se $\forall \varepsilon >0, \exists m \ :\ \left|f_k(x)-f_h(x)\right| < \varepsilon, \forall x \in I, \forall h,k > m$

[modifica] Dimostrazione

$\begin{align} \Rightarrow) & \varepsilon>0, \exists m : \left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \ \forall n>m, \forall x \in I \\ & h,k>m \Rightarrow \left|f_k(x)-f_h(x)\right|\le\left|f_k(x)-f(x)\right|+\left|f(x)-f_h(x)\right|<2\varepsilon, \ \forall x \in I\end{align}$

Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ , segue la tesi.

$\Leftarrow)$ $\varepsilon>0, \exists m : \left|f_k(x)-f_h(x)\right|<\varepsilon, \ \forall h,k>m, \forall x \in I$

$x \in I \Rightarrow (f_n(x))_{n \in \N}$ è di Cauchy in $\R$ , quindi $\exists f:I \to \R : \lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x)=f(x)$ e quindi c'è convergenza puntuale.

Per il teorema della permanenza del segno, se $\varepsilon>0, \exists m : \left|f_k(x)-f_h(x)\right|<\varepsilon, \ \forall h,k>m, \forall x \in I$ , allora $\lim_{h \rightarrow +\infty}\left|f_k(x)-f_h(x)\right|\le\varepsilon \Rightarrow \left|f_k(x)-f(x)\right|\le\varepsilon, \ \forall k>m, \forall x \in I$ . Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ , segue la tesi.

$\Box$

[modifica] Convergenza uniforme e continuità

[modifica] Teorema di inversione dei limiti

Bisogna ricordare che, se $I \subseteq \R$ , allora $D(I)\,\!$ è chiamato derivato di $I\,\!$ , ed è l'insieme dei suoi punti di accumulazione (se si ha bisogno, rivederli qui).

Supponiamo che $D(I)\ne\varnothing$ . Sia $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$ . Sia $x_0 \in D(I)$ . Supponiamo inoltre che $\forall n, \exists \lim_{x \rightarrow x_0}f_n(x)=l_n \in \R$ . Allora:

$\exists \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\lim_{x \rightarrow x_0}f_n(x)\right)=\lim_{x \rightarrow x_0}\left(\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x)\right)\in \R$ , ossia, $\exists \lim_{n \rightarrow +\infty}l_n=\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)\in \R$ .

Attenzione: la validità del teorema viene perduta se si sostituisce nelle ipotesi la convergenza uniforme con quella puntuale!

[modifica] Dimostrazione

Sia fissato $\varepsilon>0$ . Per il criterio di Cauchy uniforme, sia $m\in \N$ tale che $\forall h,k>m, \left|f_k(x)-f_h(x)\right|<\varepsilon, \forall x \in I$ .
Sapendo che $\forall n, \exists \lim_{x \rightarrow x_0}f_n(x)=l_n \in \R$ , allora, per il teorema della permanenza del segno (se si vuole rivederlo, qui), $\left|l_k-l_h\right|\le \varepsilon,\ \forall k,h>m$ .
Ciò mostra che la successione $(l_n)_{n \in \N}$ è di Cauchy, quindi converge verso un $l \in \R$ , e quindi $\exists \lim_{n \rightarrow +\infty}l_n=l \in \R$ .

Sia fissato $\varepsilon>0$ . Allora:
$\left|f(x)-l\right|=\left|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-l_n(x)+l_n(x)-l\right|\le\left|f(x)-f_n(x)\right|+\left|f_n(x)-l_n(x)\right|+\left|l_n(x)-l\right|$

$\begin{align} 1) & \exists m_1 : \left|l_n(x)-l\right|<\varepsilon, \ \forall n>m_1 \\ 2) & \exists m_2 : \sup_{I} \left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \ \forall n>m_2 \end{align} \Rightarrow \left|f(x)-l\right|<2\varepsilon+\left|f_n(x)-l_n(x)\right|, \ \forall n>m=\max\{m_1,m_2\}, \forall x \in I$
Siano fissati $\varepsilon,m\,\!$ e $n>m\,\!$ . Per ipotesi $\exists \lim_{x \rightarrow x_0}f_n(x)=l_n \in \R$ , quindi $\exists \delta>0 : \left|f_n(x)-l_n\right|<\varepsilon, \forall x \in I : \left|x-x_0\right|<\delta$ .
Ciò implica che fissato $\varepsilon>0, \exists \delta>0 : \left|f(x)-l\right|<3\varepsilon, \ \forall x \in I : \left|x-x_0\right|<\delta$ .

Per l'arbitrarietà di $\varepsilon$ , è stato dimostrato che: $\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=l$

$\Box$

[modifica] Corollario (Teorema sulla continuità del limite)

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$ . Sia $x_0 \in I\cap D(I)$ . Se, $\forall n \in \N$ , $f_n\,\!$ è continua in $x_0\,\!$ , allora $f\,\!$ è continua in $x_0\,\!$

Attenzione:vale la stessa considerazione fatta nel precedente teorema.

[modifica] Dimostrazione

$f(x_0)=\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x_0)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\lim_{x \rightarrow x_0}f_n(x)\right)=\lim_{x \rightarrow x_0}\left(\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x)\right)=\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)$ , da cui la tesi.

$\Box$

[modifica] Criterio 1

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni continue, che converge uniformemente a $f\,\!$ in $I\,\!$ . Se $(x_n)_{n \in \N} \subseteq I$ una successione reale che converge a $x \in I\,\!$ , allora:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x_n)=f(x)$ .

[modifica] Dimostrazione

In conclusione, fissato $\varepsilon>0, \exists m=\max\{m_1,m_2\} : \left|f_n(x_n)-f(x)\right|\le\left|f_n(x_n)-f(x_n)\right|+\left|f(x_n)-f(x)\right|<2\varepsilon, \ \forall n>m$ , da cui la tesi.

$\Box$

[modifica] Convergenza uniforme ed integrabilità

[modifica] Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni integrabili (secondo Riemann) in $[a,b], a<b\,\!$ che converge uniformemente a $f\,\!$ in $[a,b]\,\!$ . Allora $f\,\!$ è integrabile, e vale la formula:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{a}^{b} f_n(x)\, dx=\int_{a}^{b} f(x)\, dx$

[modifica] Dimostrazione

$\forall n \in \N, M_n=\sup\left\{\left|f_n(x)-f(x)\right|, x \in [a,b]\right\} \Rightarrow |f-f_n|=|f_n-f|\leq M_n \Rightarrow -M_n \leq f-f_n \leq M_n \Rightarrow f_n-M_n \leq f \leq f_n+M_n$ .
Ricordando che $\int_{\_a}^b f(x)\, dx \leq \int_a^{\_ b} f(x)\, dx$ , e $\int_{\_a}^b f_n(x)\, dx=\int_a^{\_ b} f_n(x)\, dx=\int_{a}^{b} f_n(x)\, dx,\ \forall n \in \N$ (rivedere Integrale di Riemann), allora si può dire che:
$\forall n \in \N, \ 0 \le \int_a^{\_ b} f(x)\, dx-\int_{\_a}^b f(x)\, dx \leq \int_{a}^{b} [f_n(x)+M_n]\, dx-\int_{a}^{b} [f_n(x)-M_n]\, dx=$
$=\int_{a}^{b} [f_n(x)+M_n-f_n(x)+M_n]\, dx=\int_{a}^{b} 2M_n\, dx=2(b-a)M_n \rightarrow 0$ , per l'uniforme convergenza della successione.
Ciò implica che $\int_a^{\_ b} f(x)\, dx=\int_{\_a}^b f(x)\, dx$ , e quindi $f\,\!$ è integrabile.

Inoltre: $\left|\int_{a}^{b} f_n(x)\, dx - \int_{a}^{b} f(x)\, dx\right|=\left|\int_{a}^{b} \left[f_n(x)-f(x)\right]\, dx\right|\le\int_{a}^{b} \left|f_n(x)-f(x)\right|\, dx \le$
$\le (b-a)\cdot\max_{x \in [a,b]}\left|f_n(x)-f(x)\right|=(b-a)\cdot\sup_{x \in [a,b]}\left|f_n(x)-f(x)\right|$ .
Sia fissato $\varepsilon>0$ . Per ipotesi $\exists m \ :\ \sup_{x \in [a,b]} \left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon, \forall n > m$ .

Quindi: $\left|\int_{a}^{b} f_n(x)\, dx - \int_{a}^{b} f(x)\, dx\right|\le(b-a)\cdot\sup_{x \in [a,b]}\left|f_n(x)-f(x)\right|<(b-a)\varepsilon, \ \forall n>m$ , cioè la tesi.

$\Box$

[modifica] Convergenza uniforme e derivabilità

Dimostriamo i seguenti due lemmi:

[modifica] Lemma 1

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni derivabili in $[a,b], a<b\,\!$ . Supponiamo che $\exists x_0 \in [a,b] : f_n(x_0)$ sia convergente e che $(f'_n)_{n \in \N}\,\!$ converga uniformemente in $[a,b]\,\!$ . Allora $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente in $[a,b]\,\!$

[modifica] Dimostrazione

$\forall x \in [a,b]$ e per $h,k \in \N$ si ha: $\left|f_k(x)-f_h(x)\right|=\left|\left(f_k(x_0)-f_h(x_0)\right)+\left(f_k(x)-f_h(x)\right)-\left(f_k(x_0)-f_h(x_0)\right)\right|\le$
$\left|f_k(x_0)-f_h(x_0)\right|+\left|\left(f_k(x)-f_h(x)\right)-\left(f_k(x_0)-f_h(x_0)\right)\right|$
. Per il teorema di Lagrange, applicato alla funzione $f_k-f_h\,\!$ , $\exists x_1 \in [x_0,x]$ (supponiamo $x>x_0\,\!$ ) tale che:
$\left|f_k(x_0)-f_h(x_0)\right|+\left|\left(f_k(x)-f_h(x)\right)-\left(f_k(x_0)-f_h(x_0)\right)\right|=|x-x_0|\cdot\left|f'_k(x_1)-f'_h(x_1)\right|\le (b-a)\left|f'_k(x_1)-f'_h(x_1)\right|$ .
Da ciò segue che: $\left|f_k(x)-f_h(x)\right|\le\left|f_k(x_0)-f_h(x_0)\right|+(b-a)\left|f'_k(x_1)-f'_h(x_1)\right|$ .
Fissato $\varepsilon>0$ .
Per il criterio di Cauchy uniforme, $\exists m_1 : \left|f'_k(x)-f'_h(x)\right|<\varepsilon, \ \forall h,k>m_1, \forall x \in [a,b]$
Per il criterio di Cauchy per le successioni reali, $\exists m_2 : \left|f_k(x_0)-f_h(x_0)\right|<\varepsilon, \ \forall h,k>m_2$
Cioè: $\left|f_k(x)-f_h(x)\right|<2\varepsilon, \ \forall h,k>m=\max{m_1,m_2}, \forall x \in [a,b]$

$\Box$

[modifica] Lemma 2

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni derivabili che converge uniformemente in $[a,b],a<b\,\!$ . Sia $x_0\in [a,b]\,\!$ , e sia:
$g_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}, \ \forall x \in [a,b]\smallsetminus\{x_0\}$
Se $(f'_n)_{n \in \N}\,\!$ converge uniformemente in $[a,b]\,\!$ , allora $(g_n)_{n \in \N}\,\!$ converge uniformemente in $[a,b]\smallsetminus\{x_0\}$

[modifica] Dimostrazione

Per $h,k \in \N$ e per $x \in [a,b]\smallsetminus\{x_0\}$ , $g_h(x)-g_k(x)=\frac{(f_k(x)-f_h(x))-(f_k(x_0)-f_h(x_0))}{x-x_0}$ Per il teorema di Lagrange, applicato a $f_k-f_h\,\!$ , $\forall x \in [a,b]\smallsetminus\{x_0\}, \exists x_1 \in [x_0,x]$ se $x>x_0\,\!$ , altrimenti in $[x,x_0]\,\!$ , tale che: $g_k(x)-g_h(x)=f'_k(x_1)-f'_h(x_1)\,\!$ .
Per il criterio di Cauchy uniforme, applicato a $(f'_n)_{n \in \N}\,\!$ , $\forall \varepsilon>0, \exists m : \left|g_k(x)-g_h(x)\right|=\left|f'_k(x)-f'_h(x)\right|<\varepsilon, \ \forall h,k>m, \forall x \in [a,b]\smallsetminus\{x_0\}$ .

Quindi $(g_n)_{n \in \N}\,\!$ converge uniformemente in $[a,b]\smallsetminus\{x_0\}$ , cioè la tesi.

$\Box$

[modifica] Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni derivabili in un intervallo $I\,\!$ . Supponiamo che $\exists x_0 \in I : f_n(x_0)$ sia convergente e che $(f'_n)_{n \in \N}\,\!$ converga uniformemente in ogni $[a,b]\subseteq I$ . Allora $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente in ogni $[a,b]\subseteq I$ verso una funzione $f\,\!$ , derivabile in ogni $[a,b]\subseteq I$ e risulta: $f'(x)=\lim_{n \rightarrow +\infty}f'_n(x)$

[modifica] Dimostrazione

Dal lemma 1 segue che $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente in ogni $[a,b]\subseteq I$ . Sia $f\,\!$ la funzione limite. Fissati $a,b \in I$ , e fissato $x_0 \in [a,b]$ , definiamo:
$g_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}, \ \forall x \in [a,b]\smallsetminus\{x_0\}$ ,
$g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, \ \forall x \in [a,b]\smallsetminus\{x_0\}$ .
Per il lemma 2, $(g_n)_{n \in \N}\,\!$ converge uniformemente verso $g$ in $[a,b]\smallsetminus\{x_0\}$ .
Dal teorema di inversione dei limiti si ha: $\lim_{n \rightarrow +\infty}f'_n(x_0)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\lim_{x \rightarrow x_0}g_n(x)\right)=\lim_{x \rightarrow x_0}\left(\lim_{n \rightarrow +\infty}g_n(x)\right)=\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)=f'(x_0)$ .
Per l'arbitrarietà di $a\,\!$ , $b\,\!$ e $x_0\,\!$ , segue la tesi.

$\Box$

[modifica] Convergenza uniforme e monotonia

[modifica] Teorema del Dini per le successioni di funzioni

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni continue in $[a,b],a<b\,\!$ , monotona rispetto a n (cioè, se ad esempio crescente: $f_n(x)\le f_{n+1}(x), \forall n \in \N, \forall x \in [a,b]$ ), convergente puntualmente in $[a,b]\,\!$ verso una funzione continua $f\,\!$ . Allora $(f_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente $f\,\!$ verso in $[a,b]\,\!$ .

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo che $(f_n)_{n \in \N}$ sia monotona crescente (quindi $f_n(x)\le f_{n+1}(x), \forall n \in \N, \forall x \in [a,b]$ ).
Supponiamo, per assurdo, che $(f_n)_{n \in \N}$ non converga uniformemente in $[a,b]\,\!$ . Quindi $\exists \varepsilon_0: \forall m \in N, \exists k>m, x \in [a,b]$ tale che:

$\left|f_k(x)-f(x)\right|\ge\varepsilon_0$

Osserviamo che $f_n(x)\le f(x), \forall n \in \N, \forall x \in [a,b] \Rightarrow \left|f_k(x)-f(x)\right|=f(x)-f_k(x)$ .
Fissato $h \in \N, m=h$ . Allora $\exists n_h>h, \exists x_h \in [a,b] : f(x_h)-f_{n_h}(x_h)\ge\varepsilon$
Fissato $i \in \N, i<n_h$ , quindi $f_{n_h}\ge f_i \Rightarrow -f_{n_h}\le -f_i \Rightarrow f(x_h)-f_i(x_h)\ge f(x_h)-f_{n_h}(x_h)\ge\varepsilon_0, \ \forall h \in \N$
La successione $(x_h)_{h \in \N}\subset[a,b]$ , quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, $\exists (x_{h_j})_{j \in \N}\subset[a,b], \exists x_0 \in [a,b] : x_{h_j} \rightarrow x_0$
Sappiamo che $f(x_{h_j})-f_i(x_{h_j})\ge\varepsilon_0, \forall i<n_{h_j}$ .
Per il teorema della permanenza del segno, $\lim_{j \rightarrow +\infty}f(x_{h_j})-f_i(x_{h_j})=f(x_0)-f_i(x_0)\ge\varepsilon_0>0$
Per lo stesso teorema $\lim_{i \rightarrow +\infty}f(x_0)-f_i(x_0)=f(x_0)-f(x_0)=0\ge\varepsilon_0>0$ , e quindi 0>0, ovviamente assurdo.

L'errore è sorto nell'aver supposto che $(f_n)_{n \in \N}$ non converga uniformemente in $[a,b]\,\!$ , e quindi la tesi è verificata.

$\Box$

[modifica] Teorema 2

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni, definite in $[a,b], a<b\,\!$ e monotone rispetto alla variabile $x\in [a,b]$ , che converge puntualmente in una funzione continua $f\,\!$ in $[a,b]\,\!$ . Allora $f\,\!$ è crescente, e la convergenza è uniforme in $[a,b]\,\!$

[modifica] Dimostrazione

Fissato $\varepsilon>0$ . Per ipotesi $f\,\!$ è continua in $[a,b]\,\!$ , e quindi, per il teorema di Cantor, uniformemente continua, e quindi:
$\exists \sigma=\{a=x_0,\dots,x_h=b\} : \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon, \forall x,y \in [x_i,x_{i+1}], \forall i\in \{0,\dots,h-1\}$
Visto che c'è convergenza puntuale, siano $(m_{x_i})_{i=0,..,h}$ i raggi di convergenza puntuale associati agli $x i$ (e a $\varepsilon$ , ovviamente), e sia $m=\max_{i=0,..,h}\{m_{x_i}\}$ .
$\varepsilon>0, \exists m : |f_n(x_i)-f(x_i)|<\varepsilon, \ \forall n>m, \forall i=0,\dots,h$ .
Fissati $i \in \{0,\dots,h-1\}$ e $x: x_i\le x\le x_{i+1} \Rightarrow f_n(x_i) \le f_n(x) \le f_n(x_{i+1})$ . Ecco cosa succede:
$f_n(x)-f(x)=f_n(x)-f_n(x_{i+1})+f_n(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)\le$
$\le f_n(x_{i+1})-f_n(x_{i+1})+f_n(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)=f_n(x_{i+1})-f(x_{i+1})+f(x_{i+1})-f(x)$ .
Scegliendo un $n>m\,\!$ , allora: $f_n(x)-f(x)<2\varepsilon$
$f_n(x)-f(x)=f_n(x)-f_n(x_i)+f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)\ge$
$\ge f_n(x_i)-f_n(x_i)+f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)=f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)$
Sempre per $n>m\,\!$ , $f_n(x)-f(x)>-2\varepsilon$

E quindi è stato mostrato che, $\forall \varepsilon>0, \exists m : \left|f_n(x)-f(x)\right|<2\varepsilon, \ \forall n>m, \forall x \in [a,b]$ , cioè la tesi.

$\Box$

[modifica] Compattezza delle funzioni continue in $[a, b]$

Sia $(f_n)_{n \in \N}$ una successione di funzioni definite in un sottoinsieme di $\R\,\!$ contenente $[a,b], a<b\,\!$ .
Tali funzioni si dicono equilimitate in $[a,b]\,\!$ se e solo se $\exists M>0:|f_n(x)|\le M, \ \forall n \in \N, \forall x \in [a,b]$ .

Tali funzioni si dicono equicontinue in $[a,b]\,\!$ se e solo se $\forall \varepsilon>0, \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0: \forall x,y \in [a,b] : |y-x|<\delta, |f_n(y)-f_n(x)|<\varepsilon, \ \forall n \in \N$ .

[modifica] Teorema di Ascoli-Arzelà

Se $(f_n)_{n \in \N}$ è una successione di funzioni equilimitate ed equicontinue in $[a,b], a<b\,\!$ , allora essa ammette una successione estratta $(f_{n_k})_{k \in \N}$ convergente uniformemente in $[a,b]\,\!$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $K=[a,b]\cap\Q$ l'insieme dei razionali di $[a,b]\,\!$ . Essendo $\Q\,\!$ di cardinalità infinita, allora $K\,\!$ , sottoinsieme di cardinalità infinita, è equipotente a $\Q\,\!$ , ma esso è a sua volta equipotente a $\N\,\!$ , e quindi $K\,\!$ lo possiamo scrivere come una successione numerica: $K=(x_n)_{n \in \N}\,\!$ .

Diagonale di Cantor:

Consideriamo $x_1\,\!$ : la successione $(f_n(x_1))_{n \in \N}$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_n^{(1)}(x_1))_{n \in \N}$ (non è la successione delle derivate) convergente in $\R\,\!$ . Sia $y_1=f^{(1)}(x_1)\,\!$ il limite di tale successione.
Consideriamo $x_2\,\!$ : la successione $(f_n^{(1)}(x_2))_{n \in \N}$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_n^{(2)}(x_2))_{n \in \N}$ (non è la successione delle derivate seconde) convergente in $\R\,\!$ . Sia $y_2=f^{(2)}(x_2)\,\!$ il limite di tale successione.
Procedendo nella stessa maniera $k-1\,\!$ volte, si trova che:
Consideriamo $x_{k-1}\,\!$ la successione $(f_n^{(k-1)}(x_{k-1}))_{n \in \N}$ è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta $(f_n^{(k)}(x_{k-1}))_{n \in \N}$ (non è la successione delle derivate k-esime) convergente in $\R\,\!$ . Sia $y_k=f^{(k)}(x_k)\,\!$ il limite di tale successione.
Inoltre, per ogni $k \in \N\,\!$ $(f_n^{(k)})_{n \in \N}$ converge a $y_j, \ \forall j = 1,\dots,k-1$ .

Procedendo indefinitamente, si è costruita la seguente tabella di successioni:
$\begin{matrix} f_1^{(1)}(x_1) & f_2^{(1)}(x_1) & \cdots & f_k^{(1)}(x_1) & \cdots\cdots & \rightarrow y_1\\ f_1^{(2)}(x_2) & f_2^{(2)}(x_2) & \cdots & f_k^{(2)}(x_2) & \cdots\cdots & \rightarrow y_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\ddots & \vdots\\ f_1^{(k)}(x_k) & f_2^{(k)}(x_k) & \cdots & f_k^{(k)}(x_k) & \cdots\cdots & \rightarrow y_k\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\ddots & \vdots \end{matrix}$

Adesso consideriamo la successione diagonale, ossia la seguente successione: $(g_n)_{n \in \N}=(f_n^{(n)})_{n \in \N}$ . Per l'osservazione fatta precedentemente, per ogni $j\in \N$ , $(g_n(x_j))_{n \in \N}$ converge a $y_j\,\!$ .

Successione di Cauchy:

Fissato $\varepsilon>0$ , sia $δ > 0$ tale che $\forall x,y \in [a,b] : |y-x|<\delta, |f_n(y)-f_n(x)|<\varepsilon, \ \forall n \in \N$ . Suddividiamo $[a,b]\,\!$ in $t\,\!$ sottointervalli $(I_i)_{i=1,\dots,t}\,\!$ aventi ampiezza minore di $\delta\,\!$ , e quindi $t>\frac{b-a}{\delta}$ , e in ciascuno degli intervalli $I_i\,\!$ , scegliamo un razionale, siano essi $(x_{j_i})_{i=1,\dots,t}$ .
Allora, $\forall x \in [a,b], \exists r \in \{1,\dots,t\}: |x-x_{j_r}|\le\delta$ . Inoltre, per ogni $r \in \{1,\dots,t\}$ , $(g_n(x_{j_r}))_{n \in \N}$ converge, e quindi essa è di Cauchy, e quindi $\exists m \in \N: |g_h(x_{j_r})-g_k(x_{j_r})|<\varepsilon, \forall h,k>m, \forall r=1,\dots,t$ .
Fissato $x \in [a,b]$ , sia $r \in {1,\dots,t}$ tale che $|x-x_{j_r}|\le\delta$ . Allora, per ogni $h,k>m\,\!$ :

$|g_h(x)-g_k(x)|\le|g_h(x)-g_h(x_{j_r})|+|g_h(x_{j_r})-g_k(x_{j_r})|+|g_k(x_{j_r}-g_k(x)|<3\varepsilon$ , e quindi $(g_n)_{n \in \N}$ soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, e quindi $(g_n)_{n \in \N}$ converge uniformemente in $[a,b]\,\!$ .

$\Box$

Successioni di funzioni

Da Wikiversità, l'università aperta.

Indice

[modifica] Definizione e funzione limite

[modifica] Definizione delle convergenze

[modifica] Esempi

[modifica] Collegamento tra le due convergenze

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criteri di Cauchy

[modifica] Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Convergenza uniforme e continuità

[modifica] Teorema di inversione dei limiti

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Corollario (Teorema sulla continuità del limite)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Criterio 1

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Convergenza uniforme ed integrabilità

[modifica] Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Convergenza uniforme e derivabilità

[modifica] Lemma 1

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Lemma 2

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Convergenza uniforme e monotonia

[modifica] Teorema del Dini per le successioni di funzioni

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Teorema 2

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Compattezza delle funzioni continue in [a,b]

[modifica] Teorema di Ascoli-Arzelà

[modifica] Dimostrazione

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