Strutture algebriche

Definizione: Semigruppo

Un insieme $A$ con un'operazione binaria associativa $\star$ da origine ad una struttura $(A,\star )$ detta semigruppo.

Definizione: Monoide

Una struttura $(a,\star )$ con elemento neutro $e$ e proprietà associative è detto monoide.

Teorema:

In una struttura $(A,\star )$, se esiste l'elemento neutro $e$, esso è unico.

Dimostrazione:

Un elemento è neutro se

$\forall a\in A,\ a\star e=e\star a=a$

Supponiamo per assurdo che esistano due neutri $e_{1}$ ed $e_{2}$. Allora, si ha

$a\star e_{1}=e_{1}\star a=a$

$a\star e_{2}=e_{2}\star a=a$

Imponendo $a=e_{1}$, si ha

$e_{1}\star e_{2}=e_{2}\star e_{1}=e_{1}$

Imponendo $a=e_{2}$, si ha

$e_{2}\star e_{1}=e_{1}\star e_{2}=e_{2}$

da cui si ha la tesi, $e_{1}=e_{2}$.

Definizione: Elemento simmetrizzabile

Sia un semigruppo $(A,\star )$. Un elemento $a\in A$ è simmetrizzabile se $\exists {\bar {a}}\in A|a\star {\bar {a}}={\bar {a}}\star a=e$

Teorema:

Il simmetrico, se esiste, è unico.

Dimostrazione:

Siano per assurdo ${\bar {x}}$ e ${\bar {\bar {x}}}$ simmetrici di $x$, con $x,{\bar {x}},{\bar {\bar {x}}}\in A$. Allora, si ha

${\bar {x}}\star x=x\star {\bar {x}}=e=x\star {\bar {\bar {x}}}={\bar {\bar {x}}}\star x$

da cui

${\bar {x}}=e\star {\bar {x}}=({\bar {\bar {x}}}\star x)\star x=e\star {\bar {\bar {x}}}={\bar {\bar {x}}}$

Anelli e gruppi

Definizione: Gruppo

Una struttura $(G,\star )$ è un gruppo se:

1. l'operazione $\star$ è associativa;
2. esiste l'elemento neutro $e$;
3. $\forall x\in G\ \exists {\bar {x}}|x{\bar {x}}={\bar {x}}x=e$, cioè esiste l'elemento simmetrico (inverso).

Definizione: Gruppo abeliano

Un gruppo $(G,\cdot )$ si dice abeliano se gode della proprietà commutativa.

Esempi.

• $(\mathbb {N} ,+)$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
• $(\mathbb {N} ,\cdot )$ è un semigruppo, non ha il simmetrico
• $(\mathbb {Z} ,+)$ è un gruppo abeliano
• $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ è un monoide commutativo (sono simmetrizzabili solo $\pm 1$)

Definizione: Anello

Una struttura $(A,+,\cdot )$ con due operazioni è un anello se, rispetto alla somma si ha un gruppo abeliano e rispetto al prodotto si ha un semigruppo. Devono inoltre valere le proprietà distributive rispetto alla somma.

Nell'esempio, $(\mathbb {Z} ,+)$ è un gruppo abeliano, $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ è un anello.

Definizione: Anello unitario

Un anello $(A,+,\cdot )$ si dice unitario se esiste l'unità moltiplicativa, l'$1$.

Definizione: Anello commutativo

Un anello $(A,+,\cdot )$ si dice commutativo se l'operazione di prodotto $\cdot$ è commutativa.

Definizione: Divisore dello zero

Un elemento $0\neq x\in (A,+\cdot )$ anello commutativo unitario è divisore dello zero se

$\exists u\neq 0,\ y\in (A,+,\cdot )|x\cdot y=0$

Definizione: Dominio d'integrità

Un anello $(A,+,\cdot )$ commutativo unitario è un dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.

Definizione: Campo

Una struttura $K$ con due operazioni, $(K,+,\cdot )$ è un campo se:

1. $(K,+)$ è un gruppo abeliano;
2. $(K\setminus \{0\},\cdot )$ è un gruppo abeliano;
3. valgono le proprietà distributive.

Per esempio,

• $(\mathbb {Q} ,+)$ è un gruppo abeliano
• $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$ è un gruppo abeliano

quindi $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ è un campo. Anche $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ è campo, così come $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$. Nelle classi di resti, $(\mathbb {Z} _{n},+,\cdot )$ è anello, perché $(\mathbb {Z} _{n},\cdot )$ è soltanto un semigruppo.

Teorema:

Un elemento invertibile di un anello non può essere divisore dello zero.

Dimostrazione:

Siz $x\neq 0$ invertibile, cioè

$\exists {\bar {x}}|{\bar {x}}x=x{\bar {x}}=1$

Sia $x$ divisore dello zero, cioè $\exists y\neq 0|x\cdot y=0$. Allora, si ha l'assurdo

${\bar {x}}(xy)=({\bar {x}}x)y=0\Rightarrow y=0$

Esempio di semigruppo, $(\mathbb {Z} _{6},\cdot )$, con divisori dello zero:

$\cdot$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]
[0]	0	0	0	0	0	0
[1]	0	1	2	3	4	5
[2]	0	2	4	0	2	4
[3]	0	3	0	3	0	3
[4]	0	4	2	0	4	2
[5]	0	5	4	3	2	1

Esempio di gruppo, $(\mathbb {Z} _{5},\cdot )$, senza divisori dello zero:

$\cdot$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[0]	0	0	0	0	0
[1]	0	1	2	3	4
[2]	0	2	4	1	3
[3]	0	3	1	4	2
[4]	0	4	3	2	1

Teorema:

L'anello $(\mathbb {Z} _{n},+,\cdot )$ è campo sse $n$ è un numero primo.

Dimostrazione:

Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di ancora un po' di strumenti.

Teorema:

Lavorando in $(\mathbb {Z} _{n})$, un elemento $[a]$ è invertibile se, e solo se, $(a,n)=1$, cioè sono primi tra loro.

Dimostrazione 1:

• Ipotesi: $[a]$ invertibile
• Tesi: $(a,n)=1$

Per assurdo, sia $(a,n)\neq 1$. Allora, $\exists k|a=k{\bar {a}},\ n=k{\bar {n}}$, dove $k$ è un divisore comune. Si impone

$1<{\bar {a}}<n{\text{ e }}1<{\bar {n}}<n$

Si ha

$[a][{\bar {n}}]=[{\bar {a}}k{\bar {n}}]=[{\bar {a}}n]=[0]$

Di conseguenza, $a$ risulta essere un divisore dello zero, che è assurdo essendo $a$ anche un elemento invertibile per ipotersi. Questo significa che

$\exists {\bar {x}}|x{\bar {x}}={\bar {x}}x=1$

ma, se $x$ è divisore dello zero, si ha anche

$\exists y\neq 0|xy=0$

da cui risulterebbe

$xy=0\Rightarrow {\bar {x}}xy=y=0$

che è assurdo.

Dimostrazione 2:

• Ipotesi: $(a,n)=1$
• Tesi: $[a]$ è invertibile

Sia

$H=\{[a][x]\}$, \ \forall [x] \in \mathbb{Z}_n

con $H\subseteq \mathbb {Z} _{n}$. Se in $H$ ci sono tutti gli elementi di $\mathbb {Z} _{n}$, compresa l'unità, allora $[a]$ è invertibile. Infatti, se esiste $[1]\in H$, allora $\exists x|[a][x]=[1]$.

Dimostro che $[a][x]=[a][y]\Leftrightarrow [x]=[y]$, il che vuol dire che $|H|=n\Rightarrow H=\mathbb {Z} _{n}$.

Si ha $[ax]=[ay]$, con

• $1\leq a<n$
• $1\leq x<n$
• $1\leq y<n$
• $x>y$ per comodità.

Allora, si ha

$[ax-ay]=[a(x-y)]=[0]$

da cui

$a(x-y)=kn$

Per ipotesi, $n$ non può dividere $a$, quindi deve dividere $(x-y)$, ma $(x-y)<n$, quindi si ha un assurdo, perché dovrebbe essere $x=ny$.

Teorema enunciato precedentemente:

L'anello $(\mathbb {Z} _{n},+,\cdot )$ è campo sse $n$ è un numero primo.

Dimostrazione 1:

$(\mathbb {Z} n,+,\cdot )$ campo significa che $\forall [a]\in \mathbb {Z} _{n},\ [a]\neq 0$ è invertibile. Allora, si ha

$\forall a\neq 0,\ 1<a<n,\ (a,n)=1\Rightarrow n{\text{ è primo}}$

cioè, nessun numero intero minore di $n$ divide $n$.

Dimostrazione 2:

Se $n$ è primo, allora

$\forall a\neq 0,\ 1<a<n,\ (a,n)=1$

Lemma:

Se $(\mathbb {Z} _{n})$ è campo, allora $\forall [a]\neq [0]$, $[a]$ è invertibile.

Il lemma vuol dire che, se tutti i numeri $a$ che precedono $n$ sono primi con $n$, allora $n$ è un numero primo; ne $n$ è un numero primo, allora tutti i numeri che lo precedono sono primi con lui.

Gruppi ciclici

Definizione: Sottogruppo ciclico

Dato un gruppo $(G,\cdot )$ con $g\in G$, si dice sottogruppo ciclico generato da g, $<g>$, il più piccolo sottogruppo di $G$ che contiene $g$.

In genere, un sottogruppo ciclico è compoeto da tutte le potenze del generatore, cioè

$<g>=\left\{1,g,g^{2},g^{3},\cdots \right\}$

Definizione: Periodo

Dato $g\in G$, si dice periodo di $g$, $o(g)$, il più piccolo intero positivo $k$ tale per cui $g^{k}=1$.

Il periodo di un elemento coincide con l'ordine del sottogruppo generato dall'elemento stesso.

Definizione: Generatore

Un elemento $g\in G$ di un gruppo ciclico $G$ è un generatore di $G$.

$\left(\mathbb {Z} _{13},\cdot \right)$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[8]	[9]	[10]	[11]	[12]
[0]	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
[1]	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[2]	0	2	4	6	8	10	12	1	3	5	7	9	11
[3]	0	3	6	9	12	2	5	8	11	1	4	7	10
[4]	0	4	8	12	3	7	11	2	6	10	1	5	9
[5]	0	5	10	2	7	12	4	9	1	6	11	3	8
[6]	0	6	12	5	11	4	10	3	9	2	8	1	7
[7]	0	7	1	8	2	9	3	10	4	11	5	12	6
[8]	0	8	3	11	6	1	9	4	12	7	2	10	5
[9]	0	9	5	1	10	6	2	11	7	3	12	8	4
[10]	0	10	7	4	1	11	8	5	2	12	9	6	3
[11]	0	11	9	7	5	3	1	12	10	8	6	4	2
[12]	0	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Osservando la tabella $\mathbb {Z} _{13}$ si vede che:

• $o(1)=1$
• $o(3)=o(9)=3$
• $o(4)=o(10)=6$
• $o(5)=o(8)=4$

I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di $G$.

Teorema: Teorema di Lagrange

L'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.

Abbiamo visto che $6^{k}$ genera $\left(\mathbb {Z} _{13}\setminus \{0\},\cdot \right)$ sse $(k,12)=1$.

$<6>=\{6,10,8,9,2,12,7,3,5,4,11,1\}=\left\{6^{1},6^{2},6^{3},6^{4},6^{5},6^{6},6^{7},6^{8},6^{9},6^{10},6^{11},6^{12}\right\}$

Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di $<6>$ e sono generati da 2, 7 e 11.