Numeri interi

Avanzamento lezione: 25% al 18-05-2013.

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Numeri interi
	Tipo: lezione
	Materia: Algebra
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I numeri interi costituiscono l'insieme $\Z$ e si dividono classicamente in numeri positivi altrimenti detti, assieme allo zero, naturali $\N$, e numeri negativi.

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L'insieme dei numeri naturali L'insieme dei numeri naturali, indicato con il simbolo $\mathbb{N}$ è l'insieme numerico con cui tutti hanno a che fare con la vita quotidiana, infatti lo si utilizza per contare gli enti che ci circondano. In matematica viene espresso nella seguente forma

$\N \equiv \{ 0, 1, 2, ..., n, ... \}$

Le operazioni fondamentali che possono essere utilizzate per comporre tra loro due numeri interi sono somma e prodotto.

Somma

La somma associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale, questa frase si sintetizza formalmente come segue:

$+: \mathbb{N}^2 \longrightarrow \mathbb{N}$.

Agli elementi $a,b \in \N$ viene associato un nuovo elemento che si dice $a+b$, formalmente:

$(a,b) \mapsto a+b$

Assiomi dell'operazione somma

Valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di somma :

1) Esiste, in $\N$,un elemento neutro rispetto alla somma che si indica con $0$:

$a+0=0+a=a\,\!$ $\forall a \in \N$

2) $a+b=b+a\,\!$ $\forall a,b \in \N$, (proprietà commutativa);

3) $a+(b+c)=(a+b)+c\,\!$ $\forall a,b,c \in \N$, (proprietà associativa o del porre parentesi).

Prodotto

Il prodotto associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale:

$\cdot : \N^2 \longrightarrow \N$

Agli elementi $a,b \in \N$ viene associato un nuovo elemento che si dice $ab$ oppure $a \cdot b$:

$(a,b) \mapsto a \cdot b$

valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di prodotto :

Proprietà dell'operazione prodotto

1) Esiste, in $\N$,un elemento neutro rispetto al prodotto che si indica con $1$:

$a \cdot 1=1 \cdot a=a$ $\forall a \in \N$

2) $a \cdot b=b \cdot a\,\!$ $\forall a,b \in \N$, (proprietà commutativa);

3) $a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c\,\!$ $\forall a,b,c \in \N$, (proprietà associativa).

Valgono due ulteriori assiomi: $a \cdot 0 =0$ $\forall a \in \N$, che in realtà sarà una proposizione dimostrabile nell'insieme dei numeri interi;

e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

$a \cdot (b+c)= a \cdot b + a \cdot c\,\!$ $\forall a,b,c \in \N$

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Principio di induzione

Il principio di Induzione è un ulteriore assioma della Teoria dei Numeri.

Considerata una determinata proprietà, $P(n)$, che può essere vera o falsa per ciascun numero naturale, il principio afferma che se risulta vera $P(1)$ e se la verità di $P(n-1)$ implica quella della proposizione $P(n)$ per ogni $n \in \N$ diverso da uno, allora la proprietà $P$ è vera per ciascun numero naturale.

Ad esempio si può utilizzare tale principio per dimostrare che la somma dei primi $n$ numeri naturali è

$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}$

. $S(n)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ è vera nel caso $n=1$ infatti

$S(1)=\frac{1(1+1)}{2}=1$

è l'effettivo valore somma per il primo numero naturale.

Supponendo vera la proprietà nel caso di un generico $n-1 \in \N$ si studia il valore $S(n)$: $S(n)=S(n-1)+n$

$S(n-1)+n=\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{n(n-1)+2n}{2}=$

$=\frac{n(n+1)}{2}$

Dunque la proprietà risulta vera $\forall n \in \N$.

Nella stessa maniera è un utile esercizio dimostrare che la somma dei primi $n$ quadrati è $Q(n)=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Il principio di induzione può essere "generalizzato" nel senso che può essere applicato per dimostrare la verità di proposizioni da un certo naturale $s$ in poi: se la proprietà $P(n)$ risulta vera per un certo $s \in \N$ e se la verità di di $P(n-1)$ implica quella della proposizione $P(n)$ per ogni $n-1 \in \N, n<s$ allora la proprietà $P(n)$ è vera per ciascun numero naturale non minore di $s$.

Può essere un ulteriore esercizio dimostrare per induzione che il numero di diagonali di un poligono di $n$ lati, $n>3$, è dato da $D(n)=\frac{n(n-3)}{2}$.

Dall'insieme $\N$ all'insieme $\Z$

Se si procede a definire un'operazione di differenza sui numeri naturali:

$-: \N^2 \longrightarrow \N$

      $(a,b) \mapsto a-b$

si può osservare che presa una qualunque coppia di naturali, ad esempio 3 e 87, non è detto che la loro differenza sia ancora un numero naturale: diremo che $\N$ non è chiuso rispetto all'operazione di differenza.

Si procede, quindi, ad ampliare l'insieme numerico dei naturali aggiungendo anche i numeri negativi, tale insieme è indicato con $\Z$ e si dice appunto insieme dei numeri interi.