Materia:Topologia

La topologia, il cui nome deriva dal greco e significa letteralmente studio dei luoghi (τοπος, luogo, e λογος, studio), è quella parte della matematica nata da un lato per studiare le forme e gli spazi invarianti per deformazioni continue, dall'altro per fornire degli strumenti per lo studio degli spazi nati nel contesto dell'analisi.

In altri termini nel primo caso si cerca di descrivere varie proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature", mentre nel secondo si caratterizzano importanti proprietà di funzioni e funzionali con proprietà legate specificatamente all'ambiente in cui si lavora.

Nata principalmente all'inizio del novecento come branca di materie più classiche quali l'analisi e la geometria, la topologia ha ben presto assunto un ruolo autonomo e importante nel contesto matematico e scientifico del ventesimo secolo, sviluppandosi in molte aree.

In questo corso ci occuperemo principalmente di:

• Topologia Generale, cioè la definizione di tutti gli ingredienti di base per capire il linguaggio della topologia;
• Topologia Algebrica, ovvero come il linguaggio dell'algebra possa fornire un potente mezzo per la descrizione di spazi e forme;
• Topologia degli spazi metrici, cioè come la topologia interagisce con l'analisi.
• Gruppi Topologici, cioè quella parte di topologia che studia i gruppi che possiedono anche una struttura topologica.
  

Prerequisiti

Per la sua natura duplice di materia astratta e applicata agli enti geometrici è consigliabile proseguire di pari passi con l'immagazzinazione dei concetti astratti e allo stesso tempo cercare di crearsi esempi concreti per maneggiare con cura ciò di cui si parla.

Ovviamente, come in quasi tutta la matematica, si consiglia una buona padronanza delle lezioni precedenti prima di affrontare quella successiva.

Modulo 1: Topologia Generale

• Topologie, spazi topologici e basi
• Aperti e Chiusi
• Metriche e Topologie indotte
• Intorni e assiomi di numerabilità
• Sottospazi Topologici, Spazi prodotto e Spazi quoziente;
• Assiomi di separazione, separabilità e proprietà di basi numerabili;
• Connessione;
• Compattezza;
• ...

Modulo 2: Topologia Algebrica

• Omotopie e Gruppo Fondamentale
• Rivestimenti;
• Il teorema di Seifert - Van Kampen;
• Cenni di teoria Omologica;
• ...

Modulo 3: Topologia degli spazi metrici

• Richiami di Teoria degli Spazi Metrici e Analisi Funzionale;
• Metriche e topologie indotte;
• Metriche sui Reali, misure di Peano Jordan e Lebesgue e relative topologie;
• Topologie su Spazi di Funzioni;
• ...

Modulo 4: Gruppi Topologici

• Definizione di gruppo topologico ed esempi
• Assiomi di separazione, connessione e metrizzabilità
• Compattezza e locale compattezza
• Dualità di Pontryagin: caratteri e caratteri continui
• ...

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.

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