Materia:Topologia

Presentazione

La topologia, il cui nome deriva dal greco e significa letteralmente studio dei luoghi (τοπος, luogo, e λογος, studio), è quella parte della matematica che studia le forme e gli spazi invarianti per deformazioni continue.

In altri termini si cerca di descrivere varie proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".

Nata principalmente all'inizio del novecento come branca di materie più classiche quali l'analisi e la geometria, la topologia ha ben presto assunto un ruolo autonomo e importante nel contesto matematico e scientifico del ventesimo secolo, sviluppandosi in molte aree.

In questo corso ci occuperemo principalmente di:

• Topologia Generale, cioè la definizione di tutti gli ingredienti di base per capire il linguaggio della topologia;
• Topologia Algebrica, ovvero come il linguaggio dell'algebra possa fornire un potente mezzo per la descrizione di spazi e forme, e viceversa come il linguaggio della topologia si estenda in maniera naturale a quello dei gruppi;
• Topologia degli spazi metrici, cioè come la topologia interagisce con l'analisi.

Programma dettagliato

Modulo 1: Topologia Generale

• Definizioni basilari, ovvero topologia, basi e prebasi, aperti, chiusi, applicazioni continue;
• Cenni alle topologie indotte da metriche;
• Sottospazi Topologici, Spazi prodotto e Spazi quoziente;
• Assiomi di separazione, separabilità e proprietà di basi numerabili;
• Connessione;
• Compattezza;

Modulo 2: Topologia Algebrica

• Richiami di Teoria dei gruppi;
• Omotopie e Gruppo Fondamentale;
• Rivestimenti;
• Il teorema di Seifert - Van Kampen;
• Cenni di teoria Omologica;

Modulo 3: Topologia degli spazi metrici

• Richiami di Teoria degli Spazi Metrici e Analisi Funzionale;
• Metriche e topologie indotte;
• Metriche sui Reali, misure di Peano Jordan e Lebesgue e relative topologie;
• Topologie su Spazi di Funzioni;

Informazioni per gli studenti

Per la sua natura duplice di materia astratta e applicata agli enti geometrici è consigliabile proseguire di pari passi con l'immagazzinazione dei concetti astratti e allo stesso tempo cercare di crearsi esempi concreti per maneggiare con cura ciò di cui si parla.

Ovviamente, come in quasi tutta la matematica, si consiglia una buona padronanza delle lezioni precedenti prima di affrontare quella successiva.

Risorse

Inizio lezioni del corso di Topologia

Ricordiamo che se si è interessati a contribuire regolarmente allo sviluppo dei contenuti, fare riferimento al dipartimento di matematica.

Modulo 1

• Topologie, spazi topologici e basi
• Aperti e Chiusi
• Metriche e Topologie indotte
• Intorni e assiomi di numerabilità
• ...

Esami

È possibile (e fortemente consigliato) valutare la propria preparazione attraverso questi esami virtuali suddivisi per modulo. È inoltre possibile scegliere se sostenere l'esame "semestrale" o l'esame "annuale".