Materia:Logica matematica

La logica matematica studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, calcolabilità, e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali. Il linguaggio usato dai matematici e dagli informatici può essere formalizzato, in questo modo questi concetti diventano loro stessi oggetti matematici e vengono studiati con le tecniche e la metodologie tipiche della matematica.

La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Gödel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church).

La logica matematica acquista maturità nella seconda metà del secolo scorso. La teoria degli insiemi e la teoria dei modelli hanno un impetuoso sviluppo che porta alla luce interazioni profonde con parti dell'analisi matematica (teoria ergodica, analisi funzionale) e parti dell'algebra e la geometria.
Questa materia viene seguita dal Dipartimento di Matematica.

Prerequisiti

Esperienza con la pratica del ragionamento matematico. Il modulo sul calcolo sintattico e quello sulla teoria della calcolabilità si rivolgono agli studenti con interessi fondazionali o in teoria della dimostrazione.

Lezioni

• Strumenti minimi di teoria degli insiemi

Ordinali, cardinali, induzione transfinita.

• Linguaggi del primo ordine

Le strutture ed i linguaggi del primo ordine. Termini, formule, insiemi definibili. Enunciati, teorie. Sottostrutture, sottostrutture elementari. Immersioni parziali, mappe elementari. Il test di Tarski-Vaught il teorema di Löwenheim-Skolem. Esempi: ordini lineari, grafi, algebre booleane, gruppi, anelli, spazi vettoriali, campi.

• Calcolo sintattico

Tablaux, teorema di completezza.

• Filtri, ultrafiltri e ultraprodotti

Filtri, ultrafiltri, dualità di Stone. Ultraprodotti e teorema di Łoš.

• Il teorema di compattezza

Tre dimostrazioni: derivato dal teorema di completezza; usando le costanti di Henkin; usando gli ultraprodotti.

• Teoria degli insiemi

Gli assiomi di Zermelo-Fraenkel.

• Teoria della calcolabilità

Le funzioni primitive calcolabili, le funzioni calcolabili. Gli insiemi semicalcolabili. Il problema della terminazione.

Materiale di studio

Link dove è possibile trovare wikibooks e altri documenti di logica matematica

• Biblioteca del Dipartimento di Matematica

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.

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