Materia:Analisi numerica

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Analisi numerica

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Presentazione

L'analisi numerica (detta anche calcolo numerico o calcolo scientifico) è una disciplina che rientra nella classe della matematica applicata. Il suo obiettivo è di sviluppare metodi per la risoluzione "pratica" di problemi matematici nel continuo (cioè relativi ai numeri reali o ai numeri complessi) tramite algoritmi spesso implementabili nei calcolatori. Si noti che la soluzione calcolata dall'algoritmo (detta anche soluzione numerica) è sempre un'approssimazione di quella esatta: un algoritmo non ha ovviamente interesse se la soluzione calcolata si discosta molto da quella esatta.

Prerequisiti

L'algebra lineare svolge un ruolo particolarmente importante nell'analisi numerica e quindi la sua conoscenza è un prerequisito fondamentale. E' inoltre consigliabile affiancare allo studio di questa disciplina un linguaggio di programmazione in grado di implementare in calcolatori i metodi iterativi studiati. Fortran, C, MATLAB o Octave possono essere dei validi mezzi utili a questo scopo. Nelle presenti lezioni faremo uso di Octave (clone open-source di MATLAB).

Programma

Modulo 1 I numeri nel calcolatore: numeri finiti, cambiamenti di base, precisione numerica, propagazione dell'errore, cifre significative, instabilità e mal condizionamento. Soluzione di equazioni non lineari: metodo dicotomico (o di bisezione), problema del punto fisso, metodo di Newton-Raphson, metodo della secante variabile (o Regula Falsi), metodo della tangente e della secante fissa. Efficienza computazionale e convergenza di uno schema iterativo. Soluzione di Sistemi Lineari Metodi diretti: metodo di eliminazione di Gauss, Fattorizzazione triangolare (di Crout), Metodo di Cholesky. Metodi iterativi: iterazioni di Jacobi, di Seidel e di rilassamento, metodo del gradiente e del gradiente coniugato. Metodi semi-iterativi: Modulo 2 Modulo 3 Modulo 1 Modulo 2 Numeri finiti Risoluzione di equazioni non lineari Lezioni Breve tutorial sulla programmazione in Octave Vettori in Octave Matrici in Octave Funzioni e grafici in Octave Script e Octave functions Cicli e condizioni in Octave Numeri finiti Numeri finiti Soluzione di sistemi lineari Soluzione numerica di sistemi lineari Metodi diretti: metodo di eliminazione di Gauss metodo di fattorizzazione triangolare LU metodo di Cholesky fattorizzazione triangolare di Crout pivoting Metodi iterativi metodo di Jacobi metodo di Seidel e di rilassamento metodo di Richardson metodo del gradiente e del gradiente coniugato Metodi semi-iterativi Risoluzione di equazioni non lineari Risoluzione di equazioni non lineari con metodi numerici Metodo di bisezione Esercizi sul metodo di bisezione Soluzione degli esercizi sul metodo di bisezione Metodo di Newton Esercizi sul metodo di Newton Soluzione degli esercizi sul metodo di Newton Metodo delle secanti Esercizi sul metodo delle secanti Soluzione degli esercizi sul metodo delle secanti Metodi di punto fisso Esercizi sui metodi di punto fisso Soluzione degli esercizi sui metodi di punto fisso Sistemi di equazioni non lineari Esercizi sui sistemi di equazioni non lineari Soluzione degli esercizi sui sistemi di equazioni non lineari Altre risorse sulla risoluzione di equazioni non lineari Approfondimenti sui metodi di risoluzione di equazioni non lineari Metodo di Muller Esercizi sul metodo di Muller Soluzione degli esercizi sul metodo di Muller Estrapolazione di Aitken Esercizi sull'estrapolazione di Aitken Soluzione degli esercizi sull'estrapolazione di Aitken Algoritmo di Brent Esercizi sull'algoritmo di Brent Soluzione degli esercizi sull'algoritmo di Brent Equazioni differenziali ordinarie Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

Verifiche d'apprendimento

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma. Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento.

Risorse

La Biblioteca del Dipartimento di Matematica contiene risorse utili per approfondire. E' possibile trovare wikibooks e documenti esterni di analisi numerica nella Biblioteca del Dipartimento di Matematica. Sito e download del programma Octave

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