Integrali

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Indice

1 integrali immediati
2 integrali quasi immediati
3 integrali non immediati
4 Esercizi

[modifica] integrali immediati

funzione data	integrale	funzione data	integrale
$\ x^m$	$\frac{x^{m+1}}{m+1}$	$\ cos^2 x$	$\ tang\ x$
$\ a^x$	$\frac{a^x}{\log{a}}$	$\ -cosc^2\ x$	$\ cotang\ x$
$\ e^x$	$\ e^x$	$\ sec^2\ x$	$\ tang\ x$
$\frac{1}{x}$	$\ log x$	$-\ cosec^2\ x$	$\ cotang\ x$
$\ sin x$	$\ -cos x$	${1\over \sqrt {1-x^2}}$	$\ arc\ sen\ x$
$\ cos x$	$\ sen x$	$-{1\over \sqrt{1-x^2}}$	$\ arc\ cos\ x$
$\frac{1}{2\sqrt x}$	$\sqrt x$
$\frac{1}{n\sqrt[n]x^{n-1}}$	$\sqrt[n]x$

[modifica] integrali quasi immediati

1°) $\ \int_{}{(ax+b)^n} dx=\frac{1}{a}\ \int_{}(ax+b)^n d(ax+b)=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$

2°) $\ \int_{}\frac{dx}{ax+b}=\frac {1}{a}\ \int_{}\frac{d(ax+b)}{ax+b}=\frac{1}{a}\log (ax+b)$

3°) $\ \int_{}\frac{dx}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a}\ \int_{}\frac{d(ax+b)}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a(1-n)(ax+b)^{n-1}}$

4°) $\ \int_{}\frac{x dx}{ax^2+b}=\frac{1}{2a}\ \int_{}\frac{d(ax^2+b)}{ax^2+b}=\frac{1}{2a}\log(ax^2+b)$

5°) $\begin{align}\ \int_{}\frac{dx}{ax^2+b}&=\frac{1}{a}\ \int_{}\frac{dx}{x^2+c^2}=\frac{1}{ac}\ \int_{}\frac{d(\frac{x}{c})}{(\frac{x}{c})^2+1}=\frac{1}{ac}\ arc \ tang\frac{x}{c}\\&=\frac{1}{a}\sqrt \frac{a}{b}\ arc \ tang\sqrt\frac{a}{b}\ x\end{align}$

quando $\ \frac{b}{a}=c^2\ >0$

[modifica] integrali non immediati

[modifica] funzioni razionali

funzione razionale intera

$\ \int_{}(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n})dx=a_{o}\frac{x^{n+1}}{n+1}+....+a_{n+1}$

funzione razionale fratta: $\frac{A(x)}{B(x)}$

Se il denominatore è tale che:

$\ B(x)=(x-\alpha)(x-\beta)^r[(x-\epsilon)^2+\delta^2][x-\mu)^2+\nu^2]^s$

essendo: $\ \alpha$ una radice reale semplice,

$\ \beta$ una radice reale multipla,

$\ \epsilon\pm i\delta$ due radici complesse semplici,

$\ \mu\pm i\nu$ due radici complesse multiple,

dell'equazione: $\ B(x)=0$ , la frazione data si decompone nel seguente modo:

$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{c_{1}}{x-\alpha}+\frac{d_{r}}{(x-\beta)^r}+\frac{d_{{r-1}}}{(x-\beta)^{r-1}}+....+\frac{d_{1}}{x-\beta}+\frac{m_{1}x+n_{1}}{(x-\epsilon)^2+\delta^2}+\frac{p_{s}x+q_{s}}{[(x-\mu)^2+\nu^2]^{s-}}+$

$+\frac{p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu)^2+\nu^2]^{s-1}}+....+\frac{p_{1}x+q_{1}}{(x-\nu)^2+\nu^2}$

dove le costanti $\ c_{1}, d_{i}, m_{i}, n_{i}, p_{i}, q_{i}$ , si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della $\ x$ dei due menbri. L'integrazione della frazione $\frac{A_{x}}{B_{x}}$ è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

formule risolutive notevoli

A) $\ \int_{}\frac{A(x)dx}{(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})....(x-\alpha_{n})}=\sum_{i=1}^n c_{i}\ log(x-\alpha_{i})$

B) $\ \int_{}\frac{dx}{(ax^2+b)^2}=\frac{\sum_{i=1}^{i=n} c_{i}\ log(x-\alpha_{i})}{(ax^2+b)^{n-1}}+c_{n}I_{o}(x)$

dove $\ I_{o}(x)=\ \int_{}\frac{dx}{ax^2+b}$

[modifica] funzioni irrazionali

$a)\qquad \int_{}{}F[x,(ax+b)^{m\over n},(ax+b)^{p\over q}....(ax+b)^{r\over s}]ds$

con F simbolo di funzione razionale.

Ponendo: $\ ax+b=t^\mu$ dove $\ \mu=m.c.m(n,q,...s)$ , da cui: $a\ dx=\mu t^{\mu -1}dt$ , l'integrale diventa:

$\int_{}{}F({t^\mu-b\over a},\ t^mq_{1},\ t^pq_{2},...t^rq_{k}){\mu\over a}\ t^{\mu-1}dt$

con: $\ q_{1}={\mu\over n},\ q_{2}={\mu\over q},\ ....q_{k}={\mu\over s},$

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

$1\qquad \int_{}{}{dx\over 1+\sqrt x}$

Ponendo $\ x=t^2,\ dx=2\ t\ dt,\ t=\sqrt x$ si ha:

$\begin{align}\int_{}{}{dx\over 1+\sqrt x}&=2 \int_{}{}{t\ dt\over 1+t}=2t-2\log(1+t)\\&=2\sqrt x-2\log(1+\sqrt x)\end{align}$

$2\qquad \int_{}{}{dx\over \sqrt[3]x -1}$

Posto $\ x=t^3$ onde $dx=3t^2\ dt$ si ha:

$\ \int_{}{}{dx\over \sqrt[3]x -1}=\int_{}{}{1\over t-1}3\ t^2 dt=3\int_{}{}{t^2\over t-1}dt$

Ora, ${t^2\over t-1}=1+t+{1\over t-1},$ quindi

$\ \int_{}{}{t^2\over t-1}dt= t+ {t^2\over 2}+ \log(t-1);$

allora, per $t=\sqrt[3]x,$

$\int_{}{}{dx\over \sqrt[3]x -1}=3[\sqrt[3]x+{1\over 2}\sqrt[3]x^2+\log(\sqrt[3]x -1)]$

$b)\qquad \int_{}{}{F(x,\sqrt{ax^2+bx+c}}\ )dx$

con F simbolo di funzione razionale.

I°) Se a>0, si pone: $\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt a\ x,$ da cui:

$x={t^2-c\over 2\sqrt a\ t+b},\qquad dx=2{(t^2+c)\sqrt a+bt\over (2t\sqrt a+b)^2}dt,\qquad t=x+\sqrt{ax^2+bx+c}$

$\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{(t^2+c)\sqrt a +bt}{ 2t\sqrt a +b}$

Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.

esempio

$\int{}{}{1\over \sqrt{x^2-4x+5}}dx$

Poniamo: $\sqrt{x^2-4x+5}=t-x$ da cui

$x={1\over 2}{t^2-5\over t-2},\qquad dx={t^2-4t+5\over 2(t-2)^2}\ dt,\qquad t=x+\sqrt{x^2-4x+5};$

$\sqrt{x^2-4x+5}={t^2-4t+5\over 2(t-2)}$

allora, a meno di una costante:

$\int_{}{}{1\over {t^2-4t+5\over 2(t-2)}}\ {1\over 2}\ {t^2-4t+5\over (t-2)^2}dt=\int_{}{}{dt\over t-2}=\log(t-2);$

si ha quindi:

$\int_{}{}{dx\over \sqrt{x^2-4x+5}}=\log(x+\sqrt{x^2-4x+5}-2)$

[modifica] funzioni trascendenti

$a)\qquad \int_{}{}F(sen\ x, cos\ x)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $\ t=tang\ {x\over 2},$ da cui: $dx={dt\over 1+t^2}, sen\ x={2t\over 1+t^2}, cos\ x={1-t^2\over 1+t^2}$

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int_{}{}{dx\over sen\ x+cos\ x}$

Ricordato che

$sen\ x={2\ tang{x\over 2}\over 1+tang^2{x\over 2}}\qquad cos\ x={1-tang^2{x\over 2}\over{1+tang^2{x\over 2}}}$

si porrà: $tang{x\over 2}=t$ da cui ${dt\over dx}={1\over 2}{1\over cos^2{x\over 2}}={1\over 2}(1+t^2);$

allora: $\int_{}{}{dx\over sen\ x+cos\ x}=\int_{}{}{{2\over 1+t^2}\over {2t\over 1+t^2}+{1-t^2\over 1+t^2}}dt=\int{}{}{2 dt\over -t^2+2t+1},$

con che la funzione da integrare è una funzione razionale.

$b)\qquad \int_{}{}F(tang\ x)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $tang\ x=t$ , da cui $dx={dt\over 1+t^2},$ e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio

$\int_{}{}tang\ x\ dx=\int_{}{}{t\over 1+t^2}\ dt={1\over 2}\ log_e(1+t^2)={1\over 2}\log_e(1+tng^2 x)$

$c)\qquad \int_{}{}F(e^{ax})dx$

con F sinbolo di funzione razionale.

Si pone : $\ e^{ax}=t,$ da cui $x={1\over a}\ log\ t,\ dx={dt\over dx}$ e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int{}{}{1\over 1+e^x}\ dx$

Posto $\ e^x=t,$ da cui ${dt\over dx}=e^x=t,$ si ha:

$\int{}{}{dx\over 1+e^x}=\int{}{}{dt\over t(1+t)}=log\ t-log\ (1+t),$ e

$\int{}{}{dx\over 1+e^x}=log\ e^x-log\ (1+e^x)=x-log(1+e^x)$

$\ d)$ Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

I° $\int{}{}F(x, \sqrt{a^2-x^2})\ dx$ , con F simbolo di funzione razionale.

si pone: $\ x=a\ sent,$ onde:

$\int{}{}F(x, \sqrt{a^2-x^2})\ dx=\int{}{}F(a\ sent, a\ cost)a\ cost\ dt$

esempio

$\int{}{}{5\over \sqrt{5^2-x^2}}\ dx$

Si pone $x=5\ sen\ t,$ da cui: $\ dx=5\ cost\ dt,$ e $\ t=arc\ sen{x\over 5}.$

Allora:

$\int{}{}{x\over \sqrt{5^2- x^2}}\ dx=\int{}{}{5\ sent\over \sqrt{5^2-5^2\ sen^2t}}5\ cost\ dt=-5\ cost$

Sostituendo i ha: $\ -5\ cos\ arc\ sen{x\over 5}=-\sqrt{5^2-x^2}.$

II° $\int{}{}F(x, \sqrt{a^2+x^2})\ dx$

Si pone: $\ x=a\ tang\ t$ ovvero $\ x=a\ sinh\ x,$ da cui:

$\ dx=a\ sec^2t\ dt\qquad dx=a\ cosh\ t\ dt$

Allora:

$\int{}(x,\sqrt{a^2+x^2})\ dx=\int{}{}F(a\ tang\ t,a\ sec\ t)a\ sec^2t\ dt$

ovvero

$=\int{}F(a\ senh\ t,\ a\ cosh\ t)a\ cosh\ t\ dt.$

esempio

III° $\int{}{}F(x, \sqrt{x^2-a^2})\ dx$

$\ e)$ Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo $\ cos\ x=t$ ovvero $\ sen\ x=t$ , si ha:

$\int_{}{}sen\ x F(sen^2x,cos\ x)dx=-\int_{}{}F(t-t^2, t)dt$

$\int_{}{}cos\ x F(cos^2x, sen\ x)dx=\int_{}{}F(1-t^2, t)dt$

con F simbolo di funzione razionale.

$\ f)\qquad formule notevoli di riduzione$

[modifica] Esercizi

[modifica] esercizio 1°

$\ \int_{}\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$

Si ha: $\ x^2-5+6=(x-2)(x-3)$ ,

$\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{c_{1}}{x-2}+\frac{c_{2}}{x-3}$ ,

$\ x+1=(c_{1}+c_{2})x-3 c_{1}-2 c_{2}$ ,

da cui:

$\left\{\begin{matrix}c_{1}+c_{2}=1\\-3c_{1}-2c_{2}=1\end{matrix}\right.$

Risolvendo il sistema si ha: $\ c_{1}=-3$ e $\ c_{2}=4$

Quindi:

$\int_{}\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\ \int_{}\frac{-3}{x-2}dx+\ \int_{}\frac{4}{x-3}dx=log\frac{(x-3)^4}{(x-2)^3}$

[modifica] esercizio 2°

$\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx$

Eseguendo la divisione si ha:

$\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{(x-1)(x^2+1)}$

Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio prescedente si trova:

$\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=\frac{c_{1}}{x-1}+\frac{c_{2} x+c_{2}}{x^2+1}=\frac{3}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{x+1}{x^2+1}$

Quindi:

$\ \int_{}\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx=x+\frac{3}{2}log(x-1)-\frac{1}{4}log(x^2+1)-\frac{1}{2} arc\ tang (x)=$

$=x+log\sqrt \frac{(x-1)^3}{\sqrt (x^2+1)}-\frac{1}{2}arc\ tang (x)$

[modifica] esercizio 3°

$\int{}{}{x^3-x^2+1\over (1+x^2)^3}dx$

Applicando la formula notevole $\int{}{}{A(x)\over (ax^2+b)^n}dx={?\over (ax^2+n)^{n-1}}+c_{2n-1}\log(ax^2+b)+c_{2n} I_{0}(x)$

Integrali

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Indice

[modifica] integrali immediati

[modifica] integrali quasi immediati

[modifica] integrali non immediati

[modifica] funzioni razionali

[modifica] funzioni irrazionali

[modifica] funzioni trascendenti

[modifica] Esercizi

[modifica] esercizio 1°

[modifica] esercizio 2°

[modifica] esercizio 3°

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