Integrale di Riemann
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Avanzamento lezione:
75% al 7-11-2009.
Consideriamo l'intervallo
con a < b.
Chiamiamo scomposizione di [a,b] un sottoinsieme
comprendente gli estremi a,b.

È possibile definire su [a,b] la misura di ogni intervallo Ik = [xk,xk + 1] (è possibile farlo perché
è archimedeo) come (xk + 1 − xk). Inoltre

Definiamo il parametro di finezza di σ:

cioè quanto al massimo può misurare un intervallo della scomposizione σ. In altri termini, | σ | < | σ' | significa che σ è una scomposizione di [a,b] in un numero di intervalli maggiore rispetto a σ' dunque
.
Indichiamo l'insieme totale di tutte le scomposizioni possibili di [a,b] l'insieme denotato con Ω[a,b].
Indice |
[modifica] Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata
Sia
una funzione limitata. Se
, è detta somma superiore di f relativa a σ

Graficamente:
Analogamente si definiscono le somme inferiori come

e la figura sarà simile a quella sopra, se non per il fatto che i rettangoli non "superano" la funzione ma stanno tutti sotto di essa. In altri termini, le somme superiori approssimano per eccesso l'area sottesa alla funzione nell'intervallo [a,b], mentre quelle inferiori la approssimano per difetto. Dunque risulta ovviamente che
. Osserviamo inoltre che, per ogni scomposizione σ, si ha:
![\inf_{[a,b]} f \cdot (b-a) = \sum_{i=1}^n \inf_{[a,b]} f \cdot (x_{i+1}-x_i) \leq s(f,\sigma) \leq S(f,\sigma) \leq \sum_{i=1}^n \sup_{[a,b]} f \cdot (x_{i+1}-x_i) = \sup_{[a,b]}\cdot (b-a)](http://upload.wikimedia.org/math/f/a/e/fae38d25ecc1b6cf3cbccd4ad856d785.png)
Definiamo ora l' integrale inferiore e superiore da a a b di f, denotato con
e
il numero reale tale che:
![\int_{\_a}^b f(x){\rm d}x = \sup\{s(f,\sigma), \sigma \in \Omega_{[a,b]} \}](http://upload.wikimedia.org/math/3/4/0/3406ea6e6a4c21c0c0603ff236168a44.png)
![\int_a^{\_ b} f(x){\rm d}x = \inf\{S(f,\sigma), \sigma \in \Omega_{[a,b]} \}](http://upload.wikimedia.org/math/1/2/9/129f8ea6af16428acd83c986b4fb1553.png)
In altri termini, l'integrale inferiore è quella somma inferiore che approssima meglio l'area di f in [a,b] tra tutte le scomposizioni σ possibili. Analogamente l'integrale superiore.
[modifica] Proposizione
Per ogni funzione limitata
si ha

[modifica] Lemma
Sia σ una scomposizione più fine di σ', cioè
. Allora, per qualsiasi
si ha che


Inoltre, siano
e
. Risulta allora che:

cioè, prese due qualsiasi scomposizioni, una qualsiasi somma inferiore è sempre più piccola di una qualsiasi somma superiore.
[modifica] Dimostrazione del Lemma
Sia
, cioè σ è più grande di σ' solo per un punto in più {c}. Abbiamo
e xp < c < xp + 1 in σ. Notiamo innanziutto che le due somme differiscono soltanto nell'intervallo [xp,xp + 1], ma per il resto sono uguali. Per provare che
, facciamo vedere che la differenza tra S(f,σ) e S(f,σ') è minore di zero e in virtù di quanto abbiamo appena notato, possiamo solo considerare l'intervallo [xp,xp + 1] in quanto tutte gli altri intervalli, essendo i medesimi in entrambe le scomposizioni, si annullano. Dunque :
![\sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (c-x_p)+\sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \sup_{[x_p,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_p)=0](http://upload.wikimedia.org/math/f/f/0/ff0752ca39b26b6cb91af2a4c756864e.png)
Analogamente per le somme inferiori:
![\inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (c-x_p)+\inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \inf_{[x_p,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_p)=0](http://upload.wikimedia.org/math/7/8/2/78200c69ee1c6b9a7ab3aaf23d0346b6.png)
Abbiamo così dimostrato che le somme superiori (inferiori) di una certa scomposizione sono più piccole (più grandi) delle somme di un'altra scomposizione mano a mano che aumenta la finezza della scomposizione.
Inoltre, qualsiasi somma inferiore è minore uguale di qualsiasi altra somma superiore, a prescindere dalle rispettive scomposizioni. Infatti:


[modifica] Dimostrazione della Proposizione
È una diretta conseguenza del Lemma precedente.

[modifica] Funzioni integrabili
Una funzione limitata
si dice integrabile secondo Riemann se

ed in tal caso l' integrale di f da a a b si denota con

Vedremo ora alcuni teoremi che ci aiuteranno a stabilire quando una funzione è integrabile (secondo Riemann). Denoteremo con
l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann nell'intervallo [a,b].
Cominciamo proprio con il teorema omonimo.
[modifica] Teorema (di Riemann)
Sia
una funzione limitata. Allora
se e solo se
![\forall \varepsilon > 0\ \exists \sigma \in \Omega_{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\varepsilon](http://upload.wikimedia.org/math/1/3/b/13bfc96ed7c2e514f6f296eaf1b601ea.png)
cioè f è integrabile nel senso di Riemann se e solo se esiste almeno una scomposizione nell'insieme di tutte le scomposizioni possibili in [a,b] tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore relativa alla scomposizione in oggetto sia piccola quanto si voglia.
Diciamo fra noi che è un'affermazione un po' "imparentata" con la definizione di integrale appena data, tuttavia è un teorema che risulta comodo e conveniente conoscere.
[modifica] Dimostrazione
Dimostriamo l'implicazione
utilizzando un piccolo "artificio" esclusivamente per semplificare la comprensione della dimostrazione, ma che naturalmente non ne invalida la correttezza. Se f è integrabile, esiste una qualche scomposizione
per cui
, cioè esisterà certamente una qualche scomposizione (che chiamiamo σ') tale che la somma superiore relativa a questa scomposizione sia minore della più piccola tra le somme superiori aumentata di un certo valore (che noi chiamiamo
) per quanto esso sia piccolo a piacere. Per ipotesi
, dunque
. Analogamente esiste una scomposizione σ'' tale che
e anche qui, per l'ipotesi che f sia integrabile,
. Ricapitolando, abbiamo dunque:

.Sia ora
e dunque
e
. Per il lemma 1.2, abbiamo che
e
essendo σ una scomposizioni più fine o uguale alle altre due. Dunque:
.Dimostriamo ora l'implicazione inversa, cioè assumiamo che
e traiamone che
. Per ipotesi, si ha allora:

e di conseguenza
.
Ma la Proposizione 1.1 sostiene che si ha sempre
, dunque mettendo insieme le cose traiamo che

e dunque f è integrabile secondo Riemann.
