Integrale di Riemann

Integrale di Riemann
	Tipo: lezione
	Materia: Algebra lineare
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Analisi matematica > Integrale di Riemann

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Avanzamento lezione: 75% al 21-05-2013.

Consideriamo l'intervallo $[a,b] \in \mathbb{R}$ con $a < b$.

Chiamiamo scomposizione di $[a,b]$ un sottoinsieme $\sigma \in [a,b]$ comprendente gli estremi $a,b$.

$\sigma = \{ a=x_0,x_1,\dots,x_n=b \}$

È possibile definire su $[a,b]$ la misura di ogni intervallo $I_k = [x_k,x_{k+1}]$ (è possibile farlo perché $\mathbb{R}$ è archimedeo) come $(x_{k+1}-x_k)$. Inoltre

$\sum_{i=1}^n (x_{k+1}-x_k)=b-a$

Definiamo il parametro di finezza di $\sigma$:

$|\sigma| \in \mathbb{R} = \max \{(x_{k+1}-x_k), k =1,\dots,n \}$

cioè quanto al massimo può misurare un intervallo della scomposizione $\sigma$. In altri termini, $|\sigma|<|\sigma'|$ significa che $\sigma$ è una scomposizione di $[a,b]$ in un numero di intervalli maggiore rispetto a $\sigma'$ dunque $\sigma' \supseteq \sigma$.

Indichiamo l'insieme totale di tutte le scomposizioni possibili di $[a,b]$ l'insieme denotato con $\Omega_{[a,b]}$.

Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione limitata. Se $\sigma \in \Omega_{[a,b]}$, è detta somma superiore di $f$ relativa a $\sigma$

$S(f,\sigma) \in \mathbb{R}=\sum_{i=1}^n \sup_{I_i} f \cdot (x_{i+1}-x_i)$

Graficamente:

Analogamente si definiscono le somme inferiori come

$s(f,\sigma) \in \mathbb{R} = \sum_{i=1}^n \inf_{I_i} f \cdot (x_{i+1}-x_i)$

e la figura sarà simile a quella sopra, se non per il fatto che i rettangoli non "superano" la funzione ma stanno tutti sotto di essa. In altri termini, le somme superiori approssimano per eccesso l'area sottesa alla funzione nell'intervallo $[a,b]$, mentre quelle inferiori la approssimano per difetto. Dunque risulta ovviamente che $s(f,\sigma) \leq S(f,\sigma), \forall \sigma \in \Omega_{[a,b]}$. Osserviamo inoltre che, per ogni scomposizione $\sigma$, si ha:

$\inf_{[a,b]} f \cdot (b-a) = \sum_{i=1}^n \inf_{[a,b]} f \cdot (x_{i+1}-x_i) \leq s(f,\sigma) \leq S(f,\sigma) \leq \sum_{i=1}^n \sup_{[a,b]} f \cdot (x_{i+1}-x_i) = \sup_{[a,b]}\cdot (b-a)$

Definiamo ora l' integrale inferiore e superiore da $a$ a $b$ di $f$, denotato con $\int_{\_a}^b f(x){\rm d}x \in \mathbb{R}$ e $\int_a^{\_b} f(x){\rm d}x \in \mathbb{R}$ il numero reale tale che:

$\int_{\_a}^b f(x){\rm d}x = \sup\{s(f,\sigma), \sigma \in \Omega_{[a,b]} \}$

$\int_a^{\_ b} f(x){\rm d}x = \inf\{S(f,\sigma), \sigma \in \Omega_{[a,b]} \}$

In altri termini, l'integrale inferiore è quella somma inferiore che approssima meglio l'area di $f$ in $[a,b]$ tra tutte le scomposizioni $\sigma$ possibili. Analogamente l'integrale superiore.

Proposizione

Per ogni funzione limitata $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ si ha

$\int_{\_a}^b f(x){\rm d}x \leq \int_a^{\_ b} f(x){\rm d}x$

Lemma

Sia $\sigma$ una scomposizione più fine di $\sigma'$, cioè $\sigma \supseteq \sigma'$. Allora, per qualsiasi $\sigma, \sigma' \in \Omega_{[a,b]}$ si ha che

$S(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')$

$s(f,\sigma)\geq s(f,\sigma')$

Inoltre, siano $\xi', \xi'' \in \Omega_{[a,b]}$ e $\sigma = \xi' \cup \xi''$. Risulta allora che:

$s(f,\xi') \leq S(f,\xi'')$

cioè, prese due qualsiasi scomposizioni, una qualsiasi somma inferiore è sempre più piccola di una qualsiasi somma superiore.

Dimostrazione del Lemma

Sia $\sigma=\sigma' \cup \{c\}$, cioè $\sigma$ è più grande di $\sigma'$ solo per un punto in più $\{c\}$. Abbiamo $\sigma'=\{x_0,x_1,\dots,x_{p},x_{p+1},\dots,x_n\}$ e $x_p<c<x_{p+1}$ in $\sigma$. Notiamo innanziutto che le due somme differiscono soltanto nell'intervallo $[x_p,x_{p+1}]$, ma per il resto sono uguali. Per provare che $S(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')$, facciamo vedere che la differenza tra $S(f,\sigma)$ e $S(f,\sigma')$ è minore di zero e in virtù di quanto abbiamo appena notato, possiamo solo considerare l'intervallo $[x_p,x_{p+1}]$ in quanto tutte gli altri intervalli, essendo i medesimi in entrambe le scomposizioni, si annullano. Dunque :

$S(f,\sigma)-S(f,\sigma')=\sup_{[x_p,c]}f \cdot (c-x_p)+\sup_{[c,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-x_p) \leq$ $\sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (c-x_p)+\sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \sup_{[x_p,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_p)=0$

Analogamente per le somme inferiori:

$s(f,\sigma)-s(f,\sigma')=\inf_{[x_p,c]}f \cdot (c-x_p)+\inf_{[c,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-x_p) \geq$ $\inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (c-x_p)+\inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \inf_{[x_p,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_p)=0$

Abbiamo così dimostrato che le somme superiori (inferiori) di una certa scomposizione sono più piccole (più grandi) delle somme di un'altra scomposizione mano a mano che aumenta la finezza della scomposizione.

Inoltre, qualsiasi somma inferiore è minore uguale di qualsiasi altra somma superiore, a prescindere dalle rispettive scomposizioni. Infatti:

$\sigma \supseteq \xi',\sigma \supseteq \xi'' \Rightarrow s(f,\xi')\leq s(f,\sigma) \leq S(f,\sigma) \leq S(f,\xi'')$

$\Box$

Dimostrazione della Proposizione

È una diretta conseguenza del Lemma precedente.

$\Box$

Funzioni integrabili

Una funzione limitata $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ si dice integrabile secondo Riemann se

$\int_{\_a}^b f(x)dx = \int_a^{\_b}f(x)dx$

ed in tal caso l' integrale di $f$ da $a$ a $b$ si denota con

$\int_a^b f(x)dx$

Vedremo ora alcuni teoremi che ci aiuteranno a stabilire quando una funzione è integrabile (secondo Riemann). Denoteremo con $\mathcal{R}_{[a,b]}$ l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann nell'intervallo $[a,b]$.

Cominciamo proprio con il teorema omonimo.

Teorema (di Riemann)

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione limitata. Allora $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$ se e solo se

$\forall \varepsilon > 0\ \exists \sigma \in \Omega_{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\varepsilon$

cioè $f$ è integrabile nel senso di Riemann se e solo se esiste almeno una scomposizione nell'insieme di tutte le scomposizioni possibili in $[a,b]$ tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore relativa alla scomposizione in oggetto sia piccola quanto si voglia.

Diciamo fra noi che è un'affermazione un po' "imparentata" con la definizione di integrale appena data, tuttavia è un teorema che risulta comodo e conveniente conoscere.

Dimostrazione

Dimostriamo l'implicazione $\Rightarrow$ utilizzando un piccolo "artificio" esclusivamente per semplificare la comprensione della dimostrazione, ma che naturalmente non ne invalida la correttezza. Se $f$ è integrabile, esiste una qualche scomposizione $\sigma' \in \Omega_{[a,b]}$ per cui $S(f,\sigma')<\int_a^{\_ b}f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2}$, cioè esisterà certamente una qualche scomposizione (che chiamiamo $\sigma'$) tale che la somma superiore relativa a questa scomposizione sia minore della più piccola tra le somme superiori aumentata di un certo valore (che noi chiamiamo $\frac{\varepsilon}{2}$) per quanto esso sia piccolo a piacere. Per ipotesi $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$, dunque $\int_a^{\_ b}f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2} = \int_a^bf(x)dx + \frac{\varepsilon}{2}$. Analogamente esiste una scomposizione $\sigma''$ tale che $s(f,\sigma'')>\int_{\_ a}^bf(x)dx - \frac{\varepsilon}{2}$ e anche qui, per l'ipotesi che $f$ sia integrabile, $\int_{\_ a}^bf(x)dx - \frac{\varepsilon}{2} = \int_a^bf(x)dx - \frac{\varepsilon}{2}$. Ricapitolando, abbiamo dunque:

$S(f,\sigma')<\int_a^b f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2}$

$s(f,\sigma'')>\int_a^b f(x)dx -\frac{\varepsilon}{2}$ .

Sia ora $\sigma = \sigma' \cup \sigma''$ e dunque $\sigma \supseteq \sigma'$ e $\sigma \supseteq \sigma''$. Per il lemma 1.2, abbiamo che $S(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')$ e $s(f,\sigma)\geq s(f,\sigma'')$ essendo $\sigma$ una scomposizioni più fine o uguale alle altre due. Dunque:

$S(f,\sigma)-s(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')-s(f,\sigma'') < \int_a^b f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2} -\left( \int_a^b f(x)dx -\frac{\varepsilon}{2}\right)=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ .

Dimostriamo ora l'implicazione inversa, cioè assumiamo che $\forall \varepsilon > 0\ \exists \sigma \in \Omega_{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\varepsilon$ e traiamone che $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$. Per ipotesi, si ha allora:

$\int_a^{\_b}f(x)dx - \int_{\_ a}^bf(x)dx \leq S(f,\sigma)-s(f,\sigma) < \varepsilon$

e di conseguenza $\int_a^{\_b}f(x)dx - \int_{\_ a}^bf(x)dx < \varepsilon \Leftrightarrow \int_a^{\_b}f(x)dx < \int_{\_ a}^bf(x)dx + \varepsilon \Leftrightarrow \int_a^{\_b}f(x)dx \leq \int_{\_ a}^bf(x)dx$ .

Ma la Proposizione 1.1 sostiene che si ha sempre $\int_a^{\_b}f(x)dx \geq \int_{\_ a}^bf(x)dx$, dunque mettendo insieme le cose traiamo che

$\int_a^{\_b}f(x)dx = \int_{\_ a}^bf(x)dx$

e dunque $f$ è integrabile secondo Riemann.

$\Box$