Integrale di Riemann

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Materia:Analisi matematica > Integrale di Riemann

Avanzamento lezione: 75% al 7-11-2009.

Consideriamo l'intervallo $[a,b] \in \mathbb{R}$ con $a < b$ .

Chiamiamo scomposizione di $[a, b]$ un sottoinsieme $\sigma \in [a,b]$ comprendente gli estremi $a, b$ .

$\sigma = \{ a=x_0,x_1,\dots,x_n=b \}$

È possibile definire su $[a, b]$ la misura di ogni intervallo $I k = [x k, x k + 1]$ (è possibile farlo perché $\mathbb{R}$ è archimedeo) come $(x k + 1 - x k)$ . Inoltre

$\sum_{i=1}^n (x_{k+1}-x_k)=b-a$

Definiamo il parametro di finezza di $σ$ :

$|\sigma| \in \mathbb{R} = \max \{(x_{k+1}-x_k), k =1,\dots,n \}$

cioè quanto al massimo può misurare un intervallo della scomposizione $σ$ . In altri termini, $| σ | < | σ' |$ significa che $σ$ è una scomposizione di $[a, b]$ in un numero di intervalli maggiore rispetto a $σ'$ dunque $\sigma' \supseteq \sigma$ .

Indichiamo l'insieme totale di tutte le scomposizioni possibili di $[a, b]$ l'insieme denotato con $Ω [a, b]$ .

Indice

1 Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata
- 1.1 Proposizione
- 1.2 Lemma
  - 1.2.1 Dimostrazione del Lemma
  - 1.2.2 Dimostrazione della Proposizione
2 Funzioni integrabili
- 2.1 Teorema (di Riemann)
  - 2.1.1 Dimostrazione

[modifica] Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione limitata. Se $\sigma \in \Omega_{[a,b]}$ , è detta somma superiore di $f$ relativa a $σ$

$S(f,\sigma) \in \mathbb{R}=\sum_{i=1}^n \sup_{I_i} f \cdot (x_{i+1}-x_i)$

Graficamente:

Analogamente si definiscono le somme inferiori come

$s(f,\sigma) \in \mathbb{R} = \sum_{i=1}^n \inf_{I_i} f \cdot (x_{i+1}-x_i)$

e la figura sarà simile a quella sopra, se non per il fatto che i rettangoli non "superano" la funzione ma stanno tutti sotto di essa. In altri termini, le somme superiori approssimano per eccesso l'area sottesa alla funzione nell'intervallo $[a, b]$ , mentre quelle inferiori la approssimano per difetto. Dunque risulta ovviamente che $s(f,\sigma) \leq S(f,\sigma), \forall \sigma \in \Omega_{[a,b]}$ . Osserviamo inoltre che, per ogni scomposizione $σ$ , si ha:

$\inf_{[a,b]} f \cdot (b-a) = \sum_{i=1}^n \inf_{[a,b]} f \cdot (x_{i+1}-x_i) \leq s(f,\sigma) \leq S(f,\sigma) \leq \sum_{i=1}^n \sup_{[a,b]} f \cdot (x_{i+1}-x_i) = \sup_{[a,b]}\cdot (b-a)$

Definiamo ora l' integrale inferiore e superiore da $a$ a $b$ di $f$ , denotato con $\int_{\_a}^b f(x){\rm d}x \in \mathbb{R}$ e $\int_a^{\_b} f(x){\rm d}x \in \mathbb{R}$ il numero reale tale che:

$\int_{\_a}^b f(x){\rm d}x = \sup\{s(f,\sigma), \sigma \in \Omega_{[a,b]} \}$

$\int_a^{\_ b} f(x){\rm d}x = \inf\{S(f,\sigma), \sigma \in \Omega_{[a,b]} \}$

In altri termini, l'integrale inferiore è quella somma inferiore che approssima meglio l'area di $f$ in $[a, b]$ tra tutte le scomposizioni $σ$ possibili. Analogamente l'integrale superiore.

[modifica] Proposizione

Per ogni funzione limitata $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ si ha

$\int_{\_a}^b f(x){\rm d}x \leq \int_a^{\_ b} f(x){\rm d}x$

[modifica] Lemma

Sia $σ$ una scomposizione più fine di $σ'$ , cioè $\sigma \supseteq \sigma'$ . Allora, per qualsiasi $\sigma, \sigma' \in \Omega_{[a,b]}$ si ha che

$S(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')$

$s(f,\sigma)\leq s(f,\sigma')$

Inoltre, siano $\xi', \xi'' \in \Omega_{[a,b]}$ e $\sigma = \xi' \cup \xi''$ . Risulta allora che:

$s(f,\xi') \leq S(f,\xi'')$

cioè, prese due qualsiasi scomposizioni, una qualsiasi somma inferiore è sempre più piccola di una qualsiasi somma superiore.

[modifica] Dimostrazione del Lemma

Sia $\sigma=\sigma' \cup \{c\}$ , cioè $σ$ è più grande di $σ'$ solo per un punto in più ${c}$ . Abbiamo $\sigma'=\{x_0,x_1,\dots,x_{p},x_{p+1},\dots,x_n\}$ e $x p < c < x p + 1$ in $σ$ . Notiamo innanziutto che le due somme differiscono soltanto nell'intervallo $[x p, x p + 1]$ , ma per il resto sono uguali. Per provare che $S(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')$ , facciamo vedere che la differenza tra $S (f,σ)$ e $S (f,σ')$ è minore di zero e in virtù di quanto abbiamo appena notato, possiamo solo considerare l'intervallo $[x p, x p + 1]$ in quanto tutte gli altri intervalli, essendo i medesimi in entrambe le scomposizioni, si annullano. Dunque :

$S(f,\sigma)-S(f,\sigma')=\sup_{[x_p,c]}f \cdot (c-x_p)+\sup_{[c,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-x_p) \leq$ $\sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (c-x_p)+\sup_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \sup_{[x_p,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_p)=0$

Analogamente per le somme inferiori:

$s(f,\sigma)-s(f,\sigma')=\inf_{[x_p,c]}f \cdot (c-x_p)+\inf_{[c,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-x_p) \geq$ $\inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (c-x_p)+\inf_{[x_p,x_{p+1}]}f \cdot (x_{p+1}-c) - \inf_{[x_p,x_{p+1}]}f\cdot (x_{p+1}-x_p)=0$

Abbiamo così dimostrato che le somme superiori (inferiori) di una certa scomposizione sono più piccole (più grandi) delle somme di un'altra scomposizione mano a mano che aumenta la finezza della scomposizione.

Inoltre, qualsiasi somma inferiore è minore uguale di qualsiasi altra somma superiore, a prescindere dalle rispettive scomposizioni. Infatti:

$\sigma \supseteq \xi',\sigma \supseteq \xi'' \Rightarrow s(f,\xi')\leq s(f,\sigma) \leq S(f,\sigma) \leq S(f,\xi'')$

$\Box$

[modifica] Dimostrazione della Proposizione

È una diretta conseguenza del Lemma precedente.

$\Box$

[modifica] Funzioni integrabili

Una funzione limitata $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ si dice integrabile secondo Riemann se

$\int_{\_a}^b f(x)dx = \int_a^{\_b}f(x)dx$

ed in tal caso l' integrale di $f$ da $a$ a $b$ si denota con

$\int_a^b f(x)dx$

Vedremo ora alcuni teoremi che ci aiuteranno a stabilire quando una funzione è integrabile (secondo Riemann). Denoteremo con $\mathcal{R}_{[a,b]}$ l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann nell'intervallo $[a, b]$ .

Cominciamo proprio con il teorema omonimo.

[modifica] Teorema (di Riemann)

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione limitata. Allora $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$ se e solo se

$\forall \varepsilon > 0\ \exists \sigma \in \Omega_{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\varepsilon$

cioè $f$ è integrabile nel senso di Riemann se e solo se esiste almeno una scomposizione nell'insieme di tutte le scomposizioni possibili in $[a, b]$ tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore relativa alla scomposizione in oggetto sia piccola quanto si voglia.

Diciamo fra noi che è un'affermazione un po' "imparentata" con la definizione di integrale appena data, tuttavia è un teorema che risulta comodo e conveniente conoscere.

[modifica] Dimostrazione

Dimostriamo l'implicazione $\Rightarrow$ utilizzando un piccolo "artificio" esclusivamente per semplificare la comprensione della dimostrazione, ma che naturalmente non ne invalida la correttezza. Se $f$ è integrabile, esiste una qualche scomposizione $\sigma' \in \Omega_{[a,b]}$ per cui $S(f,\sigma')<\int_a^{\_ b}f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2}$ , cioè esisterà certamente una qualche scomposizione (che chiamiamo $σ'$ ) tale che la somma superiore relativa a questa scomposizione sia minore della più piccola tra le somme superiori aumentata di un certo valore (che noi chiamiamo $\frac{\varepsilon}{2}$ ) per quanto esso sia piccolo a piacere. Per ipotesi $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$ , dunque $\int_a^{\_ b}f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2} = \int_a^bf(x)dx + \frac{\varepsilon}{2}$ . Analogamente esiste una scomposizione $σ''$ tale che $s(f,\sigma'')>\int_{\_ a}^bf(x)dx - \frac{\varepsilon}{2}$ e anche qui, per l'ipotesi che $f$ sia integrabile, $\int_{\_ a}^bf(x)dx - \frac{\varepsilon}{2} = \int_a^bf(x)dx - \frac{\varepsilon}{2}$ . Ricapitolando, abbiamo dunque:

$S(f,\sigma')<\int_a^b f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2}$

$s(f,\sigma'')>\int_a^b f(x)dx -\frac{\varepsilon}{2}$ .

Sia ora $\sigma = \sigma' \cup \sigma''$ e dunque $\sigma \supseteq \sigma'$ e $\sigma \supseteq \sigma''$ . Per il lemma 1.2, abbiamo che $S(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')$ e $s(f,\sigma)\geq s(f,\sigma'')$ essendo $σ$ una scomposizioni più fine o uguale alle altre due. Dunque:

$S(f,\sigma)-s(f,\sigma)\leq S(f,\sigma')-s(f,\sigma'') < \int_a^b f(x)dx + \frac{\varepsilon}{2} -\left( \int_a^b f(x)dx -\frac{\varepsilon}{2}\right)=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ .

Dimostriamo ora l'implicazione inversa, cioè assumiamo che $\forall \varepsilon > 0\ \exists \sigma \in \Omega_{[a,b]}\ :\ S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\varepsilon$ e traiamone che $f \in \mathcal{R}_{[a,b]}$ . Per ipotesi, si ha allora:

$\int_a^{\_b}f(x)dx - \int_{\_ a}^bf(x)dx \leq S(f,\sigma)-s(f,\sigma) < \varepsilon$

e di conseguenza $\int_a^{\_b}f(x)dx - \int_{\_ a}^bf(x)dx < \varepsilon \Leftrightarrow \int_a^{\_b}f(x)dx < \int_{\_ a}^bf(x)dx + \varepsilon \Leftrightarrow \int_a^{\_b}f(x)dx \leq \int_{\_ a}^bf(x)dx$ .

Ma la Proposizione 1.1 sostiene che si ha sempre $\int_a^{\_b}f(x)dx \geq \int_{\_ a}^bf(x)dx$ , dunque mettendo insieme le cose traiamo che

$\int_a^{\_b}f(x)dx = \int_{\_ a}^bf(x)dx$

e dunque $f$ è integrabile secondo Riemann.

$\Box$

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[modifica] Proposizione

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