Integrale

Da Wikiversità, l'università aperta.

Gtk-dialog-info.svg

La comprensione ottimale dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscenza dei seguenti concetti:
Stubby
Questa lezione è solo un abbozzo. Se puoi contribuisci adesso a migliorarla secondo le convenzioni di Wikiversità.
Per l'elenco completo degli stub, vedi la relativa categoria

[modifica] Definizioni

Esistono tre differenti definizioni di integrale:

  1. Integrale di Kurzweil-Henstock
  2. Integrale di Lebesgue
  3. Integrale di Riemann

La definizione data da Kurzweil e Henstock è la più generale delle tre,e in effetti la seconda e la terza individuano sottospazi vettoriali della prima.

[modifica] Integrale di Kurzweil-Henstock

Una funzione f: I \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} si dice integrabile secondo Kurzweil-Henstock (abbreviato K.H.-integrabile) se e solo se e' convergente la somma di Riemann associata a ogni P-Partizione δ-fine di I. In altre parole se e solo se

\exists A \in \mathbb{R}: \forall \epsilon > 0,\exists \delta calibro su I tale che: \forall \Pi P-partizione δ-fine diI,

|S(I,f,\Pi)-A| \leq \epsilon

[modifica] Alcuni esempi

La funzione costante f: I \subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

f(x)=k, k \in \mathbb{R}

È KH-integrabile. Vediamo perché:

Analogamente si dimostra (introducendo però un calibro non costante), che anche la funzione

f(x)=mx,m\in\mathbb{R}

.

Per estensione si può vedere che le funzioni KH-integrabili sono L-Integrabili, e quindi R-integrabili. Pertanto tutte le funzioni continue sono KH-Integrabili.

Anche per le funzioni KH-integrabili vale il Teorema fondamentale del calcolo integrale, così enunciato:

Estratto da "http://it.wikiversity.org/wiki/Integrale"
Strumenti personali