Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale

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Materia:Analisi matematica > Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Indice

1 Punto di Accumulazione
- 1.1 Esempio
- 1.2 punti di accumulazione
2 Definizione di Limite

[modifica] Punto di Accumulazione

Sia $A \subseteq \mathbb{R}, A \neq \emptyset,x_0 \in \mathbb{R}$ , $H$ un intorno di $x 0$ e $\mathcal{I}_{x_0}$ l'insieme degli intorni di $x 0$ .
Si dice che $x 0$ è un punto di accumulazione si $A$ se

$\left( A\setminus \{x_0\}\right) \cap H \neq 0, \forall H \in \mathcal{I}_{x_0}$

quindi

$\forall H \in \mathcal{I}_{x_0} \exists x \in A \mid x \in L,x\neq x_0$

In altri termini, per ogni intorno del punto $x 0$ , esiste almeno un altro punto di $A$ che non sia $x 0$ .

Si dice derivato di $A$ l'insieme dei punti di accumulazione di $A$ e si indica con $D (A)$ .

[modifica] Esempio

[modifica] $\pm \infty$ punti di accumulazione

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Si dice che $+\infty$ è un punto di accumulazione di $A$ se:

$A \cap L \neq \emptyset, \forall L \in \mathcal{I}_{+\infty}$

In questa definizione evitiamo di specificare $A \setminus \{+\infty \}$ perché $+\infty$ non è un punto di $A$ (e non si sa nemmeno cosa sia effettivamente).

Possiamo dedurre questa interessante osservazione:

Sia $+\infty$ un punto di accumulazione di $A$ . Allora

$A \cap H \neq \emptyset,\forall H \in \mathcal{I}_{+\infty}$ (ricordiamo che $H = ]m,+\infty[,m\in \mathbb{R}$ )

se e solo se

$A \cap ]m,+\infty[ \neq \emptyset,\forall m\in \mathbb{R}$ cioè

$\forall m \in \mathbb{R} \exists x \in A : x > m$

Dunque $A$ non ha maggiorante.

[modifica] Definizione di Limite

Sia $f:A \to \mathbb{R},A\subseteq \mathbb{R}$ . Scrivere

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lambda$

significa che se $x$ è "vicino" a $x 0$ allora anche $f (x)$ è vicina a $λ$ .

Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o $\pm \infty$ ) per $x$ che tende ad un certo valore (anche qui sia esso un numero reale o $\pm \infty$ ). Per comodità di notazione scriveremo

$\mathbb{\bar{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$

Enunciamo ora la definizione di limite:

Sia $f:A\to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in D(A), x_0 \in \mathbb{\bar{R}}$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ . Si dice che $f (x)$ tende a $λ$ per $x$ che tende a $x 0$ e si scrive

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lambda$

se

$\forall L \in \mathcal{I}_\lambda \exists H \in \mathcal{I}_{x_0} \mid f(x)\in L, \forall x \in (A\setminus \{x_0\})\cap H$

Questa è la definizione generale di limite per una funzione. È davvero molto importante e BISOGNA saperla maneggiare con grande naturalezza. Vediamo ora come si può utilizzare questa definizione e come si trasforma a seconda dei casi.

[modifica] Caso1: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite reale

In questo caso, con $x 0$ reale e il limite reale, abbiamo

$\begin{cases} \mathcal{I}_{\lambda}=\{ ]\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon[,\varepsilon >0 \} \\ \mathcal{I}_{x_0}=\{ ]x_0-\delta,x_0+\delta[,\delta >0 \} \end{cases}$

Dunque, $\lim_{x\to x_0}f(x) = \lambda$ lo possiamo rappresentare in base alla definizione di limite come

$\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\ :\ f(x) \in ]\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon[, \forall x \in A\setminus \{x_0\},x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[$

Ma possiamo giungere anche ad una notazione un po' più compatta. Infatti notiamo che

$f(x)\in ]\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon[ \Leftrightarrow ]\lambda-\varepsilon < f(x)< \lambda+\varepsilon[ \Leftrightarrow \varepsilon <f(x)-\lambda < \varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-\lambda|<\varepsilon$

ed allo stesso modo

$x \in ]x_0-\delta,x_0+\delta[=x_0-\delta<x<x_0+\delta = -\delta<x-x_0<\delta \Leftrightarrow |x-x_0|<\delta$

Si ottiene infine, con questa nuova notazione,

$\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 \ :\ |f(x)-\lambda|<\varepsilon,\ \forall x \in A\setminus \{x_0\},|x-x_0|<\delta$

che è la notazione compatta e più operativa che useremo d'ora in avanti.

[modifica] Caso2: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite $+ \infty$

I rispettivi intervalli sono

$\mathcal{I}_{x_0} = ]x_0-\delta,x_0+\delta[$ e $\mathcal{I}_{+\infty}=]y,+\infty[,\ y \in \mathbb{R}$

La definizione di limite diventa per questo caso

$\forall y \in \mathbb{R}\exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x) > y,\ \forall x \in A\setminus \{x_0\}, x \cap I$

e nella versione operativa

$\forall y \in \mathbb{R}\exists \delta >0\ :\ f(x)>y,\ \forall x\in A\setminus \{x_0\}, |x-x_0|<\delta$

[modifica] Caso3: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite $-\infty$

I rispettivi intervalli sono

$\mathcal{I}_{x_0} = ]x_0-\delta,x_0+\delta[$ e $\mathcal{I}_{-\infty}=]-\infty,y[,\ y \in \mathbb{R}$

Dunque, la definizione di limite diventa

$\forall y \in \mathbb{R}\exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x) < y,\ \forall x \in A\setminus \{x_0\}, x \cap I$

e nella versione operativa

$\forall y \in \mathbb{R}\exists H \delta >0\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A\setminus \{x_0\}, |x-x_0|<\delta$

[modifica] Caso4: $x_0 = +\infty$ e limite reale

Procediamo come al solito, con i rispettivi intervalli che sono

$\mathcal{I}_{+\infty}=]y,+\infty[,y \in \mathbb{R}$ e $\mathcal{I}_{\lambda}=]\lambda-\varepsilon,\lambda + \varepsilon[$

La definizione di limite è allora

$\forall L \in \mathcal{I}_{\lambda} \exists y \in \mathbb{R}\ :\ f(x)\in L,\ \forall x > y$

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale $y$ tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno $x$ abbastanza grande ed in particolare sempre più grande di $y$ (tendente quindi a $+\infty$ ).

In versione compatta abbiamo

$\forall \varepsilon >0 \exists y \in \mathbb{R}\ :\ |f(x)-\lambda|<\varepsilon,\ \forall x >y$

[modifica] Caso5: $x_0= -\infty$ e limite reale

$\mathcal{I}_{-\infty}=]-\infty,y[,y \in \mathbb{R}$ e $\mathcal{I}_{\lambda}=]\lambda-\varepsilon,\lambda + \varepsilon[$

La definizione di limite è

$\forall L \in \mathcal{I}_{\lambda} \exists y \in \mathbb{R}\ :\ f(x)\in L,\ \forall x < y$

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale $y$ tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno $x$ abbastanza piccole ed in particolare sempre più piccolo di $y$ (tendente quindi a $-\infty$ ).

In versione compatta abbiamo

$\forall \varepsilon >0 \exists y \in \mathbb{R}\ :\ |f(x)-\lambda|<\varepsilon,\ \forall x <y$

[modifica] Caso6: $x_0,\lambda = +\infty$

$\mathcal{I}_{x_0}=\mathcal{I}_{+\infty}=]y,+\infty[,y \in \mathbb{R}$ e $\mathcal{I}_{\lambda}=\mathcal{I}_{+\infty}=]z,+\infty[,z \in \mathbb{R}$

e dunque

$\forall y \in \mathbb{R} \exists z \in \mathbb{R}\ :\ f(x)>y,\ \forall x>z$

Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite. Come esercizio provate a fare voi gli altri, cioè nel caso di

$x_0 = -\infty,\ \lambda =+\infty$
$x_0 = -\infty,\ \lambda =-\infty$
$x_0 = +\infty,\ \lambda =-\infty$ .

Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale

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[modifica] Punto di Accumulazione

[modifica] Esempio

[modifica] $\pm \infty$ punti di accumulazione

[modifica] Definizione di Limite

[modifica] Caso1: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite reale

[modifica] Caso2: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite $+ \infty$

[modifica] Caso3: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite $-\infty$

[modifica] Caso4: $x_0 = +\infty$ e limite reale

[modifica] Caso5: $x_0= -\infty$ e limite reale

[modifica] Caso6: $x_0,\lambda = +\infty$

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[modifica] Caso1: e limite reale

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[modifica] Caso1: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite reale

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[modifica] Caso3: $x_0 \in \mathbb{R}$ e limite $-\infty$

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