Autovalori e autovettori e diagonalizzazione di matrici

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Materia:Algebra Lineare > Autovalori e autovettori e diagonalizzazione di matrici

Indice


[modifica] Similitudine di matrici

Diamo la definizione di similitudine tra due matrici.

Siano M,M' due matrici quadrate di ordine n.

M' si dice simile a M se esiste una matrice H invertibile di ordine anch'essa n tale che

M' = H − 1MH.


La similitudine è una relazione di equivalenza su M_m(\mathbb{K}) (provate a dimostrarlo per esercizio).

[modifica] Proposizione

Sia V uno spazio vettoriale su \mathbb{K} di dimensione n e siano A,B \in M_{n \times n}(\mathbb{K}). Allora A e B sono simili se e solo se

\exist f \in End(V), \exists B,B' basi di V tali che

M_{B}(f)=A ^ M_{B'}(f)=B

[modifica] Dimostrazione

\Box

[modifica] Diagonalizzabilità

L'equazione X' = MB(f)X dell'endomorfismo f \in End(V) assumerebbe una forme particolarmente semplice se MB(f) fosse diagonale. Dunque ci si pone il problema di stabilire se una data matrice M \in M_m(\mathbb{K}) è o meno simile ad una qualche matrice diagonale.

Una matrice M \in M_m(\mathbb{K}) è detta diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale, cioè se esiste una matrice D\in GL_m(\mathbb{K}) tale che

D^{-1}MD=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & \dots \ & \lambda_m \end{pmatrix} = {\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)

La matrice D è detta matrice diagonalizzante.


Un endomorfismo f \in End(V), dimV = m si dice diagonizzabile se esiste una base B=(v_1,\dots,v_m) di Vtale che

M_B(f)={\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_m)

o equivalentemente

f(v_i)=\lambda v_i, i \in \{1,\dots,m\}

La base B è detta diagonalizzante.


In definitiva, f è diagonalizzabile se e solo se la matrice MB(f) relativa ad una qualsiasi base B di V lo è anch'essa.

Dall'ultima definizione possiamo ora dare la definizione di autovalore e autovettore.

[modifica] Autovalori e Autovettori

Sia v un vettore non nullo di V. v si dice autovettore di f \in End(V) se esiste uno scalare \lambda \in \mathbb{K} tale che

f(v) = λv.

Lo scalare λ con questa proprietà viene detto autovalore di f relativo all'autovettore v.


La definizione è estensibile anche alle matrici. Infatti definiamo autovettore della matrice M\in M_m(\mathbb{K}) un vettore non nullo X=\ ^t(x_1, x_2, \dots, x_m) \in \mathbb{K}^m della matrice M se esiste \lambda \in \mathbb{K} autovalore di M tale che

MX = λX.

Prima di procedere con alcune proposizioni, vediamo alcuni esempi.

[modifica] Esempi

  • Sia f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 l'endomorfismo definito da f(x,y) = (2x,y). Cerchiamo degli autovalori e autovettori. Applicando la definizione, dobbiamo trovare un vettore v \in \mathbb{R}^2 tale che f(v) = λv, per un qualche \lambda \in \mathbb{R} autovalore di v.Innanzitutto notiamo che trovare gli autovalori equivale a risolvere f(v) − λf(v) = 0, cioè
(2x,y)-\lambda (x,y) = 0 \rightarrow (2x,y)=(\lambda x,\lambda y). Questa equazione si annulla per λ = 2 se y = 0, oppure per λ = 1 se x = 0. Non ci sono altre soluzioni, dunque non ci sono altri autovalori.
Quali sono gli autovettori associati agli autovalori λ = 1 e λ = 2? Come detto prima, tutti i vettori che soddisfano l'equazione sopra. Dunque gli autovettori sono coppie del tipo \begin{cases}(x,0) \text{ per } \lambda=2 \\ (0,y) \text{ per } \lambda=1\end{cases}.
  • Consideriamo ora il caso di f:V\to V, f(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})=(-y\mathbf{i},-x\mathbf{j}). Cerchiamo ora gli autovalori.
(-y,-x)-\lambda (x,y) \rightarrow \begin{cases}-y-\lambda x = 0 \\ -x -\lambda y = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}\lambda x +y =0 \\ x + \lambda y = 0 \end{cases}.

Il sistema lineare omogeneo ha soluzione per \lambda = \pm 1, dunque \pm 1 sono gli autovalori. Per trovare gli autovettori, risolviamo il sistema precedente sostituendo a λ -1 e poi 1.

\begin{cases}-x +y =0 \\ x - y = 0 \end{cases} \rightarrow (x,x)
\begin{cases}x +y =0 \\ x +y = 0 \end{cases} \rightarrow (x,-x)

Gli autovettori sono dunque i vettori di tipo (x,x) per l'autovalore − 1 e (x, − x) per l'autovalore 1.

[modifica] Proposizione

f \in End(V) è diagonalizzabile se e solo se possiede una base costituita da autovettori.

[modifica] Dimostrazione

Prendiamo come base di V la base canonica E^n=(e_1,\dots,e_n). Comunque sia definita f, abbiamo che f(ei) = λei, dunque la base canonica è una base costituita da autovettori.

  • \Leftarrow )

La matrice MB(f) associata all'endomormismo f è

M_B(f)=\begin{pmatrix}f(e_1) & \dots &f(e_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1 e_1 & \dots &\lambda_n e_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 &\dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 &\dots & 0 \\ \vdots & &\ddots & & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 & & \dots& 0&\lambda_n \end{pmatrix}

che è una matrice diagonale. Dunque, per la definizione, f è diagonalizzabile.

  • \Rightarrow )

\Box

[modifica] Proposizione

Sia B=(v_1,\dots,v_n) una base di V. Allora v\in V = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n è un autovettore di f \in End(V) relativo all'autovalore λ se e solo se X=\ ^t(\alpha_1,\dots,\alpha_n) è un autovettore della matrice MB(f) relativo allo stesso autovalore λ.

[modifica] Dimostrazione
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