Anelli e sottoanelli

Da Wikiversità, l'università aperta.

[modifica] Definizione e proprieta'

Un anello A è un insieme con definite le due operazioni somma e prodotto tali che per l'addizione

vale la proprieta' associativa
esiste 0 come elemento neutro
$\forall x \in A \exists -x : x+(-x) = 0$ , quindi esistenza dell'opposto
vale la proprieta' commutativa

e per la moltiplicazione

vale la proprieta' di chiusura (cioè $\forall x,y \in A, x\cdot y \in A$ )
vale la legge distributiva, ovvero $a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$

In altri termini un anello A viene denotato con $(A,+,\cdot)$ ed è composta da un gruppo abeliano additivo e (nel caso esistesse l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione) da un monoide moltiplicativo.

Si tenga presente che esistono pero' anche anelli associativi, cioè dove vale la proprieta' associativa anche per la moltiplicazione ed in effetti, è di questi che ci occuperemo maggiormente. Puo' anche accadere, come detto sopra, che l'operazione prodotto sia un monoide e che quindi abbia elemento neutro 1. In tal caso l'anello si chiama anello unitario. Si dira' invece anello commutativo se vale la proprieta' commutativa per la moltiplicazione.

Ma vediamo ora alcuni esempi di anelli per fissare le idee.

$(\mathbb{R},+,\cdot)$ è un anello. Infatti sono soddisfatti tutte le proprieta' sopra indicate. Inoltre, essendo 1 elemento neutro della moltiplicazione ed essendo la stessa commutativa, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ è un anello commutativo unitario.
$(\{x \in \mathbb{Z} : x=2n, n \in \mathbb{Z} \},+,\cdot)$ , cioè l'anello degli interi pari è un anello commutativo ma NON unitario (infatti 1 non è un numero pari, quindi non appartiene all'insieme.

Un anello in cui l'insieme meno lo 0 con l'operazione di moltiplicazione formino un gruppo abeliano prende il nome di campo. Ad esempio $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sono campi.

[modifica] zero divisori, domini e campi

Quando il prodotto di due numeri e' zero, allora ci viene automatico pensare che se il prodotto e' nullo uno dei due fattori (o tutti e due) è certamente nullo. E questo vale in $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ e in qualsiasi altro campo e dopo vedremo il motivo. Ma non è valido in generale per tutti gli anelli e quando un numero b non nullo, moltiplicato per un altro numero a non nullo anch'esso da come risultato 0, b viene detto zero-divisore .

La cosa a prima vista puo' lasciare perplessi (essendo di solito abituati a lavorare con i numeri reali), ma ora vedremo un esempio pratico che mostrera' come effettivamente esistono anelli contenenti elementi non nulli divisori dello zero. Prendiamo l'insieme $(\mathbb{Z}_6,+,\cdot)$ , cioè l'anello delle classi di resto modulo 6. Vediamo innanzitutto che sia un anello e di che tipo sia. Ma per fare questo è necessario considerare il caso generale.

$(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ riguardo l'addizione è certamente un gruppo abeliano perché abbiamo visto che in $\mathbb{Z}_n$ l'addizione tra interi è compatibile con la congruenza. È quindi possibile sommare classi di resto come sommare interi e quindi abbiamo visto che $(\mathbb{Z}_n,+)$ è un gruppo (abeliano, oltretutto).
verifichiamo ora innanzitutto che anche l'operazione prodotto tra interi sia compatibile con la congruenza. Verifichiamo quindi che

$\left\{ \begin{matrix} a \equiv b (n) \\ a' \equiv b' (n) \end{matrix} \right. \Rightarrow aa' \equiv bb' (n)$ Possiamo allora scrivere le due congruenze come $\left\{ \begin{matrix} a = nq + b \\ a' = nq' + b' (n) \end{matrix} \right.$ Svluppando i calcoli otteniamo $a \cdot a' = (nq + b)\cdot (nq' + b') = n^2qq' + nqb' + nq'b + bb' = n(nqq' + qb' + q'b) + bb' \Leftrightarrow a\cdot a' \equiv b\cdot b' (n)$

Quindi la moltiplicazione di interi è compatibile con la congruenza modulo n e possiamo definire il monoide commutativo $(\mathbb{Z}_n,\cdot)$ e quindi ottenere che $[a][b]=[ab],\forall a,b \in \mathbb{Z}_n$ . Infatti, essendo valide la proprieta' del monoide moltiplicativo degli interi (elemento neutro, commutativita' e proprieta' associativa) esse continueranno ad essere valide anche per $(\mathbb{Z}_n,\cdot)$ avendo infatti appena verificato che la relazione di congruenza e la moltiplicazione di interi sono compatibili.

Tornando al nostro esempio di $(\mathbb{Z}_6,+,\cdot)$ , in baso alla dimostrazione precedente, esso sara' quindi "composto" da il gruppo abeliano $(\mathbb{Z}_6,+)$ e il monoide commutativo $(\mathbb{Z}_6,\cdot)$ ed e' perciò un anello commutativo con 6 elementi, ovvero $[0],[1],[2],[3],[4],[5]$ Questo anello ha degli elementi zero-divisori, ovvero elementi diversi da zero il cui prodotto e' invece proprio zero. Per dimostrarlo ci basta far vedere, con un controesempio, che è falso che non esistono in questo anello degli zero-divisori. E ci basta prendere, ad esempio, $[2] \cdot [3] = [6] = [0]$ . Abbiamo quindi visto che in $(\mathbb{Z}_6,+,\cdot)$ esistono degli elementi non nulli che moltiplicati tra loro danno invece l'elemento nullo.

Diamo ora alcune importanti definizioni:

Un anello che non ha elementi zero divisori si dice dominio di integrita'
Un anello i quali elementi diversi da zero formano due gruppi (additivo e moltiplicativo) si chiama corpo
Un corpo commutativo si chiama campo

Avevamo prima detto che viene naturale pensare che quando abbiamo zero come risultato di un prodotto, allora uno dei due fattori o tutti e due sono nulli. Questo perché siamo abituati a ragionare con i numeri reali, che sono un campo. Ebbene, dimostriamo che ogni campo è un dominio di integrita', ovvero che ogni campo non ha zero-divisori. Infatti sia $\mathbb{A}$ un campo. Allora per ogni $a,b, \in \mathbb{A}$ si possono presentare due casi per il quale $a \cdot b = 0$

se $a = 0$ non c'e' nulla da dimostrare. il prodotto tra a e b è ovviamente zero.
se invece a non e' nullo, essendo appartenenti ad un campo, esistera' certamente $a - 1$ quindi

$ab=0,a \neq 0 \Rightarrow b=1b=(a a^{-1})b = a^{-1}(ab) = a^{-1}(0) = 0$

Quindi, in un campo, il prodotto nullo implica necessariamente che uno dei due fattori (o entrambi) sia nullo e quindi è un dominio di integrita'.

Anelli e sottoanelli

Da Wikiversità, l'università aperta.

[modifica] Definizione e proprieta'

[modifica] zero divisori, domini e campi

Visite

Strumenti personali

Navigazione

Comunità

Ricerca

Strumenti