Anelli e sottoanelli

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lezione
Anelli e sottoanelli
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra
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Indice

Definizione e proprieta'[modifica]

Sia A\,\! un insieme non vuoto, e siano f\,\! e g\,\! due operazioni binarie di A\,\!. La struttura <A,f,g>\,\! si dice un anello se f\,\! e g\,\! godono delle seguenti proprietà:

  1. <A,f>\,\! è un gruppo abeliano;
  2. <A,g>\,\! è un semigruppo;
  3. g\,\! è distributiva (sia a destra sia a sinistra) rispetto a f\,\!.

Se sono soddisfatte le proprietà, A\,\! si dice sostegno dell'anello.

Per facilitare la comprensione degli argomenti successivi, si usano per f\,\! e g\,\! rispettivamente la notazione additiva +\,\! e quella moltiplicativa \cdot\,\! . Inoltre un anello <A,+,\cdot>, ove possibile, sarà denotato con A\,\!. Quindi un anello sarà una struttura <A,+,\cdot>\,\! che soddisfa le seguenti proprietà:

  1. <A,+>\,\! è un gruppo abeliano
  2. <A,\cdot>\,\! è un semigruppo
  3. a(b+c) = ab + ac , (b+c)a = ba + ca\,\!

<A,+>\,\! si dice gruppo abeliano additivo e <A,\cdot>\,\! si dice un semigruppo moltiplicativo. Per la proprietà 1., ovviamente risulta essere x+y=y+x \ \forall x,y \in A. Quindi x\,\! e y\,\! si dicono permutabili se vale xy = yx\,\!.

Regole di calcolo in un anello[modifica]

Sia A\,\! un anello. Allora valgono le seguenti regole del calcolo discendenti dalle proprietà di un anello, che ricordiamo:

  • Da A\,\! gruppo abeliano additivo, \forall x,y \in A, \forall m,n \in \Z:
    • (m+n)x=mx+nx\,\!
    • m(nx)=(mn)x=n(mx)\,\!
    • n(x+y)=nx+ny\,\!
  • Da A\,\! semigruppo moltiplicativo, \forall x \in A, \forall m,n \in \Z:
    • x^mx^n=x^{m+n}=x^nx^m\,\!
    • (x^m)^n=x^{mn}=(x^n)^m\,\!

Oltre alle regole sopra citate, ci sono nuove regole ottenute grazie alla proprietà distributiva, \forall x,y,z \in A, \ \forall n \in \Z:

  • x0=0=0x\,\!;
Dimostrazione
\begin{cases} 0x=(0+0)x=0x+0x \\ x0=x(0+0)=x0+x0 \end{cases} \Rightarrow 0x=0=x0
\Box


  • (-x)y=-(xy)=x(-y)\,\!;
Dimostrazione
\begin{cases} 0=0y=(x+(-x))y=xy+(-x)y \\ 0=x0=x(y+(-y))=xy+x(-y) \end{cases} \Rightarrow (-x)y=-(xy)=x(-y)
\Box


  • (-x)(-y)=xy\,\!;
Dimostrazione
(-x)(-y)=-((-x)y)=-(-(xy))=((-1)\cdot(-1))(xy)=xy\,\!
\Box


  • x(y-z)=xy-xz\,\! e (y-z)x=yx-zx\,\!;
Dimostrazione
\begin{cases} x(y-z)=x(y+(-z))=xy+x(-z)=xy-xz \\ (y-z)x=(y+(-z))x=yx+(-z)x=yx-zx \end{cases}
\Box


  • (nx)y=n(xy)=x(ny)\,\!.
Dimostrazione

Per n\ge 0\,\! si procede per induzione su n\,\!:
\begin{cases} n=0 \Rightarrow (0x)y=0y=0=0(xy)=0=x0=x(0y) \\ n=1 \Rightarrow (1x)y=xy=1(xy)=xy=x(1y) \\ n=2 \Rightarrow (2x)y=(x+x)y=xy+xy=2(xy)=xy+xy=x(y+y)=x(2y) \\ n\ge 3 \Rightarrow \begin{cases}(nx)y=(x+(n-1)x)y=xy+((n-1)x)y\overset{I.I.}{=}xy+(n-1)(xy)=n(xy) \\ x(ny)=x(y+(n-1)y)=xy+x(n-1)y\overset{I.I.}{=}xy+(n-1)(xy)=n(xy) \end{cases} \Rightarrow (nx)y=n(xy)=x(ny) \end{cases}
Per n<0\,\!, allora -n>0\,\!, e quindi si sfrutta quello che si è già dimostrato sopra:
\begin{cases} (nx)y=((-n)(-1)x)y=((-n)(-x))y=(-n)((-x)y)=(-n)(-(xy))=(-n)(-1)(xy)=n(xy) \\ x(ny)=x((-n)(-1)y)=x((-n)(-y))=(-n)(x(-y))=(-n)(-(xy))=(-n)(-1)(xy)=n(xy)\end{cases} \Rightarrow (nx)y=n(xy)=x(ny)

\Box

Elementi di calcolo combinatorio[modifica]

Riprendiamo alcuni argomenti di teoria degli insiemi. Se S\,\! e T\,\! sono due insiemi finiti, con |S|\,\! si intende il numero degli elementi di S\,\!, con P(S)\,\! l'insieme delle parti di S\,\!, con T^S\,\! l'insieme delle applicazioni di S\,\! in T\,\! e con Sym(S)\,\! il gruppo delle permutazioni di S\,\!. Inoltre se R\,\! è una relazione d'equivalenza in S\,\!, allora S/R\,\! è l'insieme quoziente di S\,\! su R\,\!.

Ricordiamo alcuni risultati generali (senza dimostrazione):

  1. |P(S)|=2^{|S|}, \ \ |T^S|=|T|^{|S|}, \ \ |Sym(S)|=|S|!
  2. Siano S\,\! e T\,\! due insiemi finiti e non vuoti, con n=|S|\le |T|=k\,\!. Allora esistono applicazioni iniettive di S\,\! in T\,\!, e il loro numero è n(n-1)\dots(n-k+1)\,\!
  3. Siano S\,\! e T\,\! due insiemi infiniti. Allora:
    • |S\times T|=|S|\cdot|T|
    • |S \cup T|=|S|+|T|-|S\cap T|
  4. Se S\,\! è un insieme finito e R\,\! è una relazione d'equivalenza in S\,\! tale che per ogni x \in S\,\! accade che |[x]_{R}|=k\,\!, allora: |S|=k\cdot|S/R|\,\!

Sia S\,\! un insieme costituito da n\ge 1\,\! elementi. Per ogni 0\le k \le n\,\!, S\,\! possiede sottoinsiemi di k\,\! elementi. Una k\,\!-parte di S\,\! è un sottoinsieme di S\,\! costituito da k\,\! elementi.

Con {n \choose k} si denota il numero delle k\,\!-parti di S\,\!, che si legge "n su k" e si chiama coefficiente binomiale d'ordine n e indice k.

Per ogni n\ge 1\,\! e per ogni 0\le k \le n\,\!, valgono le seguenti uguaglianze:

  • {n \choose 0}=1={n \choose n}  ; {n \choose 1}=n  ; {n \choose k}={n \choose n-k}
Dimostrazione

Basta far notare che la 0\,\!-parte di S\,\! corrisponde all'insieme vuoto e la n\,\!-parte di S\,\! corrisponde a S\,\!. Inoltre le 1\,\!-parti di S\,\! corrispondono ai singleton degli elementi di S\,\!, che ne sono n\,\!.

Infine la corrispondenza tra l'insieme delle k\,\!-parti di S\,\! e quello delle n-k\,\!-parti di S\,\!, tale che ad ogni B\,\! viene associato S \smallsetminus B\,\! è biunivoca.
\Box

Una proposizione importante è la seguente (senza dimostrazione):
\forall n\ge 1, \forall k: 1\le k \le n, \ {n \choose k}=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}

Teorema binomiale[modifica]

Adesso si può procedere al famoso:

Teorema: Teorema binomiale (o regola di Newton)

Siano a,b\,\! elementi permutabili di un anello A\,\!. Allora per ogni intero n\ge 1\,\! si ha:
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k = a^n + na^{n-1}b+ {n \choose 2}a^{n-2}b^2+\dots + {n \choose n-1}ab^{n-1}+b^n


Dimostrazione
Scriviamo (a+b)^n\,\! come (a+b)(a+b)\dots(a+b)\,\!, n\,\! volte. Sviluppando si ottiene, in un primo momento, la somma di 2^n\,\! addendi, ciascuno dei quali è un prodotto del tipo x_1\dots x_n\,\!, in cui ogni fattore è a\,\! oppure b\,\!; poiché a\,\! e b\,\! per ipotesi sono permutabili, è possibile nel prodotto precedentemente scritto collocare prima tutte le a\,\! e poi tutte le b\,\!, cosicché se b\,\! compare k\,\! volte si ha x_1\dots x_n=a^{n-k}b^k \,\!, con 0 \le k \le n. Per formare a^{n-k}b^k \,\! scegliamo b\,\! da k\,\! parentesi e a\,\! dalle rimanenti n-k\,\!. Pertanto essa compare, fra i 2^n\,\! addendi, tante volte quanti sono i modi di scegliere k\,\! parentesi fra n\,\! parentesi: quindi compare {n \choose k} volte.
\Box

Come immediata conseguenza, se l'anello A\,\! è commutativo, ossia se il monoide moltiplicativo è commutativo, allora la formula vale per ogni a\,\! e b\,\! in A\,\!.

zero divisori, domini e campi[modifica]

Quando il prodotto di due numeri e' zero, allora ci viene automatico pensare che se il prodotto e' nullo uno dei due fattori (o tutti e due) è certamente nullo. E questo vale in \mathbb{Q},\mathbb{R} e in qualsiasi altro campo e dopo vedremo il motivo. Ma non è valido in generale per tutti gli anelli e quando un numero b non nullo, moltiplicato per un altro numero a non nullo anch'esso da come risultato 0, b viene detto zero-divisore .

La cosa a prima vista puo' lasciare perplessi (essendo di solito abituati a lavorare con i numeri reali), ma ora vedremo un esempio pratico che mostrera' come effettivamente esistono anelli contenenti elementi non nulli divisori dello zero. Prendiamo l'insieme (\mathbb{Z}_6,+,\cdot), cioè l'anello delle classi di resto modulo 6. Vediamo innanzitutto che sia un anello e di che tipo sia. Ma per fare questo è necessario considerare il caso generale.

  • (\mathbb{Z}_n,+,\cdot) riguardo l'addizione è certamente un gruppo abeliano perché abbiamo visto che in \mathbb{Z}_n l'addizione tra interi è compatibile con la congruenza. È quindi possibile sommare classi di resto come sommare interi e quindi abbiamo visto che (\mathbb{Z}_n,+) è un gruppo (abeliano, oltretutto).
  • verifichiamo ora innanzitutto che anche l'operazione prodotto tra interi sia compatibile con la congruenza. Verifichiamo quindi che

\left\{ \begin{matrix} a \equiv b (n) \\ a' \equiv b' (n) \end{matrix} \right. \Rightarrow aa' \equiv bb' (n) Possiamo allora scrivere le due congruenze come \left\{ \begin{matrix} a = nq + b \\ a' = nq' + b' (n) \end{matrix} \right. Svluppando i calcoli otteniamo a \cdot a' = (nq + b)\cdot (nq' + b') = n^2qq' + nqb' + nq'b + bb' = n(nqq' + qb' + q'b) + bb' \Leftrightarrow a\cdot a' \equiv b\cdot b' (n)

Quindi la moltiplicazione di interi è compatibile con la congruenza modulo n e possiamo definire il monoide commutativo (\mathbb{Z}_n,\cdot) e quindi ottenere che [a][b]=[ab],\forall a,b \in \mathbb{Z}_n. Infatti, essendo valide la proprieta' del monoide moltiplicativo degli interi (elemento neutro, commutativita' e proprieta' associativa) esse continueranno ad essere valide anche per (\mathbb{Z}_n,\cdot) avendo infatti appena verificato che la relazione di congruenza e la moltiplicazione di interi sono compatibili.

Tornando al nostro esempio di (\mathbb{Z}_6,+,\cdot), in baso alla dimostrazione precedente, esso sara' quindi "composto" da il gruppo abeliano (\mathbb{Z}_6,+) e il monoide commutativo (\mathbb{Z}_6,\cdot) ed è perciò un anello commutativo con 6 elementi, ovvero [0],[1],[2],[3],[4],[5] Questo anello ha degli elementi zero-divisori, ovvero elementi diversi da zero il cui prodotto e' invece proprio zero. Per dimostrarlo ci basta far vedere, con un controesempio, che è falso che non esistono in questo anello degli zero-divisori. E ci basta prendere, ad esempio, [2] \cdot [3] = [6] = [0] . Abbiamo quindi visto che in (\mathbb{Z}_6,+,\cdot) esistono degli elementi non nulli che moltiplicati tra loro danno invece l'elemento nullo.

Diamo ora alcune importanti definizioni:

  1. Un anello che non ha elementi zero divisori si dice dominio di integrita'
  2. Un anello i quali elementi diversi da zero formano due gruppi (additivo e moltiplicativo) si chiama corpo
  3. Un corpo commutativo si chiama campo

Avevamo prima detto che viene naturale pensare che quando abbiamo zero come risultato di un prodotto, allora uno dei due fattori o tutti e due sono nulli. Questo perché siamo abituati a ragionare con i numeri reali, che sono un campo. Ebbene, dimostriamo che ogni campo è un dominio di integrita', ovvero che ogni campo non ha zero-divisori. Infatti sia \mathbb{A} un campo. Allora per ogni a,b, \in \mathbb{A} si possono presentare due casi per il quale a \cdot b = 0

  • se a=0 non c'e' nulla da dimostrare. il prodotto tra a e b è ovviamente zero.
  • se invece a non e' nullo, essendo appartenenti ad un campo, esistera' certamente a^{-1} quindi

ab=0,a \neq 0 \Rightarrow b=1b=(a a^{-1})b = a^{-1}(ab) = a^{-1}(0) = 0

Quindi, in un campo, il prodotto nullo implica necessariamente che uno dei due fattori (o entrambi) sia nullo e quindi è un dominio di integrita'.

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