Algebra delle derivate

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Materia:Analisi matematica > Algebra delle derivate


Siano f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R},x_0 \in A\cap D(A) e f,g funzioni derivabili in x0. Vediamo ora quali operazioni è possibile eseguire, supponendo sempre che (f+g), (fg), \frac{f}{g} siano derivabili in x0.

[modifica] Somma di derivate

(f + g)'(x0) = f'(x0) + g'(x0)

Infatti: \frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} il cui primo addendo tende a f'(x0) e il secondo addendo tende a g'(x0), per x \to x_0.

[modifica] Moltiplicazione di derivate

(f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)

Infatti:

(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)=f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)=f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)=

\left( f(x)-f(x_0)\right)g(x)+\left(g(x)-g(x_0)\right)f(x_0)

E quindi: \lim_{x\to x_0} \frac{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x)+\lim_{x\to x_0} f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)

[modifica] Quoziente di derivate

Se g(x)\neq 0, \forall x \in A:

\left( \frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}

Infatti: \frac{\left(\frac{f}{g} \right)(x)-\left(\frac{f}{g} \right)(x_0)}{x-x_0} = \frac{\left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)-\left(\frac{f(x_0)}{g(x_0)} \right)(x_0)}{x-x_0} = \frac{f(x)\frac{1}{g(x)}-f(x_0)\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}= \frac{f(x)}{x-x_0}\frac{1}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{x-x_0}\frac{1}{g(x_0)} = \frac{1}{x-x_0}\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)} = \frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x) }{x-x_0} \right) = \frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)-g(x)f(x_0)+g(x_0)f(x_0) }{x-x_0} \right) = \frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x_0)-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}f(x_0) \right)

Dunque: \lim_{x\to x_0} \left( \frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x_0)-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}f(x_0) \right) \right)= \frac{1}{g^2(x_0)}\cdot \left( f'(x)g(x_0)-g'(x)f(x_0)\right).

[modifica] Derivazione di funzioni composte

Siano A,B \subseteq \mathbb{R}, f:A\to \mathbb{R},g:B\to \mathbb{R},f(A)\subseteq B. Sia inoltre x_0 \in A \cap D(A) e f derivabile in x0. Infine sia f(x_0) \in D(B) e g derivabile in f(x0).

(g \circ f)'(x_0)=(g'\circ f)(x_0)\cdot f'(x_0)

\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

f è derivabile in x0, quindi è continua in x0, ossia:

x \rightarrow x_0 \Rightarrow f(x) \rightarrow f(x_0) \Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)

[modifica] Derivata delle funzioni inverse

Sia A \subseteq \mathbb{R}, A un intervallo, f:A\to \mathbb{R} strettamente monotona, quindi invertibile, con f − 1 la sua inversa. Sia x_0 \in A \cap D(A) e f derivabile in x0, con f'(x_0)\not=0.

Allora f − 1 è derivabile in y0 = f(x0), e si ha:

(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}

[modifica] Esempi

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