Algebra delle derivate

Avanzamento lezione: 75% al 23-05-2013.

Algebra delle derivate
	Tipo: lezione
	Materia: algebra
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Come per l'algebra dei limiti, in questa lezione vedremo le principali operazioni eseguibili sulle derivate di funzioni a variabile reale.

Somma di derivate

Sia $A\subseteq \mathbb{R}, \ \ f,g:A\to \mathbb{R}, \ \ x_0 \in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_0$. Allora $f+g$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$

Dimostrazione

$\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$ il cui primo addendo tende a $f'(x_0)$ e il secondo addendo tende a $g'(x_0)$, per $x \to x_0$.

Moltiplicazione di derivate

Sia $A\subseteq \mathbb{R}, \ \ f,g:A\to \mathbb{R}, \ \ x_0 \in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_0$. Allora $f\cdot g$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$(f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$

Dimostrazione

$(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)=f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)=f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)=$

$\left( f(x)-f(x_0)\right)g(x)+\left(g(x)-g(x_0)\right)f(x_0)$

E quindi: $\lim_{x\to x_0} \frac{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x)+\lim_{x\to x_0} f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$

Quoziente di derivate

Sia $A\subseteq \mathbb{R}, \ \ f,g:A\to \mathbb{R}, \ \ x_0 \in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_0$ sia inoltre $g(x)\neq 0, \forall x \in A$. Allora $\left( \frac{f}{g}\right)$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$\left( \frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$

Dimostrazione

$\frac{\left(\frac{f}{g} \right)(x)-\left(\frac{f}{g} \right)(x_0)}{x-x_0} = \frac{\left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)-\left(\frac{f(x_0)}{g(x_0)} \right)}{x-x_0} = \frac{f(x)\frac{1}{g(x)}-f(x_0)\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=$ $\frac{f(x)}{x-x_0}\frac{1}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{x-x_0}\frac{1}{g(x_0)} = \frac{1}{x-x_0}\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)} =$ $\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x) }{x-x_0} \right) =$ $\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)-g(x)f(x_0)+g(x_0)f(x_0) }{x-x_0} \right) =$ $\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x_0)-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}f(x_0) \right)$

Dunque: $\lim_{x\to x_0} \left( \frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x_0)-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}f(x_0) \right) \right)=$ $\frac{1}{g^2(x_0)}\cdot \left( f'(x_0)g(x_0)-g'(x_0)f(x_0)\right)$.

Derivazione di funzioni composte

Siano $A,B \subseteq \mathbb{R}, f:A\to \mathbb{R},g:B\to \mathbb{R},f(A)\subseteq B$. Sia inoltre $x_0 \in A \cap D(A)$ e $f$ derivabile in $x_0$. Infine sia $f(x_0) \in D(B)$ e $g$ derivabile in $f(x_0)$. Allora $g \circ f$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$(g \circ f)'(x_0)=(g'\circ f)(x_0)\cdot f'(x_0)$

Dimostrazione

$\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$f$ è derivabile in $x_0$, quindi è continua in $x_0$, ossia:

$x \rightarrow x_0 \Rightarrow f(x) \rightarrow f(x_0) \Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)$

Derivata delle funzioni inverse

Sia $A \subseteq \mathbb{R}, A$ un intervallo, $f:A\to \mathbb{R}$ strettamente monotona, quindi invertibile, con $f^{-1}$ la sua inversa. Sia $x_0 \in A \cap D(A)$ e $f$ derivabile in $x_0$, con $f'(x_0)\not=0$. Allora $f^{-1}$ è derivabile in $y_0= f(x_0)$, e si ha:

$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$

Dimostrazione

Si ottiene immediatamente come caso particolare della derivata della funzione composta.